實質條件

此條目頁的主題是邏輯運算符。關於邏輯門，請見「蘊含閘」。

在命題演算，或在數學的邏輯演算中，實質條件、實質蘊涵或蘊涵算子是一種二元的真值泛函的邏輯運算符，它有着如下形式：

文氏圖$A\rightarrow B$

若A，則B。

這裡的A和B是陳述變量（可以被語言中任何有意義的可表示的句子所替代）。在這種形式的陳述中，第一項這裡的A，叫做前件；第二項這裡的B，叫做後件。

這個算子使用右箭頭「→」（有時用符號「⇒」或「⊃」）來符號化，其語義僅爲「如果A為真，那麼B亦為真」。它的常見寫法見下：

• $A\to B$
• $A\supset B$
• $A\Rightarrow B$

須注意的是，$\Rightarrow$更常用於語意蘊含（等同符號$\vDash$）。這也是大多數初學者易搞混的點。

真值表

涉及實質蘊涵的真值表定義如下：

$~A$	$~B$	$~A\rightarrow ~B$（符合了「如果A為真，那麼B必為真」）
F	F	T
F	T	T
T	F	F
T	T	T

由此可見，$A\to B$ 等價於$\neg A\lor B$。

形式性質

實質條件不要混淆於蘊涵關係$\models$。但在多數邏輯包括經典邏輯中二者之間有密切關聯。例如下列原理成立：

• 如果$\Gamma \models \psi$則$\emptyset \models \phi _{1}\land \dots \land \phi _{n}\rightarrow \psi$對於某些$\phi _{1},\dots ,\phi _{n}\in \Gamma$。（這是演繹定理的特定形式。）

• 上述的逆命題

• $\rightarrow$和$\models$而二者都是單調的；就是說如果$\Gamma \models \psi$則$\Delta \cup \Gamma \models \psi$，並且如果$\phi \rightarrow \psi$則$(\phi \land \alpha )\rightarrow \psi$對於任何α, Δ。（用結構規則的術語說，這叫做弱化。）

但是這些原理不在所有邏輯中成立。它們顯著的不成立於非單調邏輯中，也不成立於相干邏輯中。

實質蘊涵的其他性質：

• 左分配律：$A\rightarrow (B\rightarrow C)\rightarrow ((A\rightarrow B)\rightarrow (A\rightarrow C))$

• 傳遞律：($A\rightarrow B)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow C))$

• 冪等律：$A\rightarrow A$

• 真理保持:在其下所有變量被指派為真值『真』的釋義生成真值『真』作為實質蘊涵的結果。

• 前交換律：($A\rightarrow (B\rightarrow C))\equiv (B\rightarrow (A\rightarrow C))$

注意$A\rightarrow (B\rightarrow C)$ 邏輯等價於$(A\land B)\rightarrow C$；這個性質有時叫做柯里化。由於這些性質，對→符號採用右結合約定是合適的。

對自然語言的符號表示

在介紹邏輯的課本中經常包括的常見的練習是符號表示。這些練習給學生自然語言的一個句子或一段文本，學生必須把它們轉換成符號語言。這是通過識別普通語言的等價的邏輯術語而完成的，這通常包括實質條件、析取、合取、否定和（經常的）雙條件。更高級的邏輯書籍和介紹性讀物的後續章節經常增加等號、存在量詞和全稱量詞。

用來識別實質條件的、在普通語言中的一些短語包括，「如果/當」、「僅當」、「假定」、「假如」、「假設」、「蘊涵」、「即使」和「萬一」。很多這些短語指示前件，另一些指示後件。正確識別「蘊涵方向」是重要的。比如，「A僅當B」被如下陳述捕獲

A → B

而「A當B」被如下陳述正確捕獲

B → A

蘊涵算符的中文意思包括「那麼」「則」「是因為」「如果……就……」。

中文	數學表達式
如果天下雨，我就帶傘	天下雨→我帶傘
學生只有喜歡數學，才會學好物理 學生物理學得好是因為他喜歡數學	物理學得好→喜歡數學
如果老婆說對，我就要聽	老婆說對→我就聽

同其他條件陳述的比較

使用這個算子是邏輯學家規定的，作為結果，它產生了一些有爭議的真值推理陳述句。比如前件明顯為假設的，任何實質條件的整句陳述結果都是真值成立的。所以陳述句如「假設 $2$是奇數，則蘊涵了 $2$是偶數」這樣違反自然語言直覺的推理蘊涵是真的。類似的，後件為真的任何實質條件陳述都是真的。所以陳述「如果豬接管了農場並謀殺了農民，則巴黎是在法國」是真的。

這些有爭議的真值推理陳述句出現，是因為自然口語的人經常易受誘惑，而把實質條件和直陳條件或其他條件陳述如反事實條件，混淆在一起了。通過不把條件陳述讀做「如果」和「則/那麼」可以減輕這種誘惑。最常見的方式是把 A → B讀做「要麼不是情況 $A$ 要麼是情況 $B$（或二者）」，或更簡單的「要麼 $A$為假 要麼 $B$為真（或二者）」。（當 $A$為假，此式即已被淺薄的（trivial）滿足。這種陳述等價的自然口語方式，即是使用否定和析取(或)的邏輯符號 $\neg A\vee B$而獲得的。）

引用

• Brown, Frank Markham（2003）, Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations, 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY, 2003.

• Edgington, Dorothy (2001), "Conditionals", in Lou Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Blackwell.

• Edgington, Dorothy (2006), "Conditionals", in Edward N. Zalta (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Eprint（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.

• Quine, W.V.（1982）, Methods of Logic, (1st ed. 1950), (2nd ed. 1959), (3rd ed. 1972), 4th edition, Harvard University Press, Cambridge, MA.

• Stalnaker, Robert. 'Indicative Conditionals'. Philosophia 5（1975）: 269–286.

外部連結

• 陳力恆：〈如言、選言發微〉
• 陳力恆：〈關聯詞之邏輯關聯（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）〉