拉格朗日點

關於1991年電子遊戲，請見「拉格朗日點 (遊戲)」。

拉格朗日點（Lagrangian point）又稱平動點（libration points）在天體力學中是限制性三體問題的五個特殊解（particular solution）。就平面圓型三體問題，1767年數學家歐拉根據旋轉的二體引力場推算出其中三個點為L₁、L₂、L₃，1772年數學家拉格朗日推算出另外兩個點（特解）為L₄、L₅。例如，兩個天體環繞運行，在空間中有五個位置可以放入第三個物體（質量忽略不計），使其與另兩個天體的相對位置保持不變。理想狀態下，兩個同軌道物體以相同的周期旋轉，兩個天體的萬有引力在拉格朗日點平衡，使得第三個物體與前兩個物體相對靜止。

綠色的點表示第三個物體與前兩個物體保持相對靜止的拉格朗日點。 例如黃色圓型為太陽，藍色點為地球，動畫中為約略位置，詳細位置與軌道需考慮質量比例和質心而稍異於動畫位置。 在拉格朗日點之外的其他位置，引力將牽引第三個物體進入不穩定的軌道。

兩個天體於旋轉座標系離心假想力場與重力場形成的2維位能場大小（灰色高度為位能場數值）對於拉格朗日點的視覺化說明，紫色線條為2為平面上的等位能面，因為第三個物體感受的重力方向為位能梯度方向，因此可看出五個位能梯度為０處，並且可以看出該等點於不同方向上是否穩定,此動畫也標示出了繞質心旋轉之情形
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位置

五個拉格朗日點之定義及位置如下：

L₁

在M₁和M₂兩個大天體的連線上，且在它們之間。

${\frac {M_{1}}{\left(R-r\right)^{2}}}={\frac {M_{2}}{r^{2}}}+{\frac {M_{1}}{R^{2}}}-{\frac {r\left(M_{1}+M_{2}\right)}{R^{3}}}$

其中：r 表示 L₁ 與較小的物體之間的距離，R 表示兩個主要物體之間的距離，M₁ 和 M₂ 分別表示較大物體和較小物體的質量。

求解 r 需要求解五次方程，但是當小物體的質量（M₂）遠小於大物體的質量（M₁）時，L₁和L₂近似於希爾球的半徑，求解如下：

$r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{2}}{3M_{1}}}}$

例如一個圍繞太陽旋轉的物體，它距太陽的距離越近，它的軌道周期就越短。但是這忽略地球的萬有引力對其產生的拉力的影響。如果這個物體在地球與太陽之間，地球引力的影響會減弱太陽對這物體的拉力，因此增加這個物體的軌道周期。物體距地球越近，這種影響就越大。在L₁點，物體的軌道周期恰好等於地球的軌道周期。

太陽及日光層探測儀（SOHO）即在日-地系統的L₁點上運行。嫦娥五號的軌道器由於原登月任務完成後仍有充足的燃料，所以安排拓展任務，飛進到日-地系統的L1點進行進一步的太陽探測任務。

L₂

在兩個大天體的連線上，且在較小的天體一側。

${\frac {M_{1}}{\left(R+r\right)^{2}}}+{\frac {M_{2}}{r^{2}}}={\frac {M_{1}}{R^{2}}}+{\frac {r\left(M_{1}+M_{2}\right)}{R^{3}}}$

同樣的，當小物體的質量（M₂）遠小於大物體的質量（M₁）時：

$r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{2}}{3M_{1}}}}$

日地系統的L₂在地球遠離太陽的一側。一般來講，一個物體距太陽的距離越遠，它的軌道周期通常就越長，但L₂點上的物體還受到地球的引力，所以軌道周期變得與地球的相等。日地系統的L₂通常用於放置太空望遠鏡。因為L₂上的物體可以保持背向太陽和地球的方位，易於保護和校準。威爾金森微波各向異性探測器已經在日-地系統的L₂點上運行。詹姆斯韋伯太空望遠鏡也在日-地系統的L₂點上。嫦娥二號亦於2011年進入日-地系統的L₂點的環繞軌道，為從月球軌道出發進入日-地系統L₂點的首例。

地月系統的L₂在月球遠離地球的一側（月球背面）。2014年中國探月工程三期再入返回飛行試驗器服務艙曾進入環繞地月L₂點的李薩如軌道開展試驗，服務艙實現了環繞地月L₂點飛行三圈，驗證了軌道設計、軌道控制和軌道維持技術。之後嫦娥4號的通信中繼衛星鵲橋號則是在該位置使用暈輪軌道維持運轉。

L₃

在兩個大天體的連線上，且在較大的天體一側。

例如：第三個拉格朗日點，L₃，位於太陽的另一側，與太陽的距離略小於地球與太陽的距離，但是位於地球軌道的外部，這個看上去矛盾的表述是因為地球公轉軌道的焦點，是太陽與地球的共同質心，儘管對於日地系統來說共同質心在太陽內部，太陽同時也在圍繞這個共同質心轉動，所以這種狀態成為可能。

一些科幻小說和漫畫會在L₃點創造一個「反地球」。

L₄

L₄點受兩天體重力的合力指向系統的質心

在以兩天體連線為底的等邊三角形的第三個頂點上，且在較小天體圍繞兩天體系統質心運行軌道的前方。此點穩定的原因在於，它到兩大物體的距離相等，其對兩物體分別的引力之比，正好等於兩大物體的質量之比。因此，兩個引力的合力正好指向該系統的質心，合力大小正好提供該物體公轉所需之向心力，使其旋轉周期與質量較小天體相同並達成軌道平衡。該系統中，兩大物體和L₄點上物體圍繞質心旋轉，旋轉中心與質心重合。事實上，L₄和L₅點上的物體的質量不須小到可忽略。L₄和L₅點處，小物體受太陽和地球的引力的合力指向日地共同質心且大小正合適。

L₅

在以兩天體連線為底的等邊三角形的第三個頂點上，且在較小天體圍繞兩天體系統質心運行軌道的後方。

L₄和L₅有時稱為三角拉格朗日點或特洛伊點。科幻作品（如漫畫、小說）所說的用於放置殖民衛星的拉格朗日點特指L₄和L₅，不包括L₁和L₂。

例如：L₄和L₅在地球圍太陽運行的軌道之前和之後成60°角處。

實質上是三個物體圍繞共同質心轉動。

平衡性

處於L₁、L₂和L₃點的物體是不穩定平衡，處於L₄與L₅的物體是穩定平衡。

嚴格而言，首先拉格朗日點只算是二星體連線之法平面內的穩定點，而在三維空間內則不穩定：考慮L₁：若垂直於中線地推移測試質點，則有一力將其推回平衡點（穩定平衡）；但若測試質點漂向任一星體，則該星體之引力會將其拉向自己（不穩定平衡）。L₁、L₂和L₃點在這條直線上不穩定，如果把物體放在這上面的話，它馬上會離開這個點。所以，有一種軌道的設計就是，它是圍繞L₂點做周期運動（暈輪軌道），這樣的話，我們的衛星只需少量調節便能維持其軌道。

此對比：若M₁比M₂大於24.96，則處於L₄與L₅的物體是穩定平衡：當一測試質點偏離此平衡點，則科里奧利力會將其軌道扭曲成（相對於旋轉座標之）扁豆狀。太陽－木星系統有幾千枚小行星，通稱為「特洛伊小行星」，俱劃此等軌跡。太陽－火星、太陽－土星、木星－木衞、土星－土衞等系統亦有類似星體。日－地系統中亦有 2010 TK7（第一顆地球特洛伊小行星），在二十世紀五十年代發現塵霧圍繞L₄與L₅。在地－月系統之L₄與L₅點亦發現比對日照更微弱之塵霧。

流行文化

科幻作品（例如漫畫和小說）所說的放置殖民衛星的拉格朗日點指L4和L5，不包括L1和L2。例如L4和L5在地球圍太陽運行的軌道之前和之後成60°角處。

相關

• 特洛伊天體
• 金星特洛伊
• 地球特洛伊
• 火星特洛伊
• 木星特洛伊
• 天王星特洛伊
• 海王星特洛伊
• 小行星帶

外部連結

• （英文）歐洲太空總署有關拉格朗日點的介紹和動畫 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）