拓撲學和其相關的數學領域裡,拓撲比較是指在同一個給定的集合上的兩個拓撲結構之間的關係。在一給定的集合上的所有拓撲會形成一個偏序集合。此一序關係可以用來做不同拓撲之間的比較。

定義 編輯

定義 —    都是   的拓撲,若    (fine)或更(strong),或稱   (coarse)或更(weak)。

進一步的,若   ,稱   嚴格細(strictly fine),或稱   嚴格粗(strictly coarse)。[1]

直觀上,  有更多甚至是「更小」的鄰域去逼近拓撲空間中的一點,所以相較之下,其拓撲結構比較「細緻」。但在   意義下定義的 「極限」要求在更多的鄰域都要能找到逼近點,所以其拓撲結構在收斂的意義下比較「強」。至於嚴格細或粗,就是額外要求  

二元關係    所有的拓撲所組成的集合上定義了一個偏序集合

例子 編輯

  的拓撲裡,最粗的是由空集和全集兩個元素構成的:

 

而最細的拓撲是離散拓撲(discrete topology),也就是 冪集

 

最粗拓撲 編輯

定理 —    的一個子集族,則:

 

也是  拓撲

證明

根據定理的條件,對所有集合   有:

  (a)

以下將逐條檢驗拓撲的定義,來驗證   的確是 拓撲

(1)  

  的確是  拓撲,那由拓撲的定義可以得到   ,這樣從式(a)右方就可以得到  

(2)   

  ,從式(a)左方有:

 
 

所以有:

 

所以根據拓撲的定義有:

 

這樣從式(a)右方就可以得到  

(3)   

  ,那對任意   ,從式(a)左方有:

 

所以有:

 

所以根據拓撲的定義有:

 

所以從式(a)右方可以得到  

綜上所述,來驗證   的確是  拓撲 

根據以上的定理,可以做以下的定義:

定義 —    的一個子集族,則:

 

稱為包含  最粗拓撲(或最弱拓撲)。



另見 編輯

  • 初拓撲-可使集合上的一組映射皆為連續的拓撲之中,最粗糙的拓撲。
  • 終拓撲-可使集合上的一組映射皆為連續的拓撲之中,最精細的拓撲。

參考資料 編輯

  1. ^ Munkres, James R. Topology 2nd. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 2000: 77–78. ISBN 0-13-181629-2.