勞侖茲力定律的重要意義
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當馬克士威方程組描繪帶電粒子怎樣產生電磁場的同時,勞侖茲力方程式描繪了移動於電磁場的帶電粒子所感受到的電磁力。這使得整個電磁動力的圖畫得以完整。在一個複雜的物理系統裏,帶電粒子可能還會感受到別種作用力,像萬有引力 或核力 。馬克士威方程組並非與這些作用力完全無關;而是通過帶電粒子或電流密度與這些作用力耦合。
對於實際的物質,在原則上和計算的複雜程度上,勞侖茲力方程式都不足以描述一群粒子的物理行為。在物質介質裏的帶電粒子,必須同時地響應和生成電磁場。除此以外,還必須考慮到描述這一群粒子的運動的傳輸方程式,例如,波茲曼傳輸方程式 (Boltzmann equation )、福克-普朗克方程式 [3] (Fokker–Planck equation )、納維-斯托克斯方程式 、等等。請參閱磁流體力學 、超導現象 、恆星演化 、等等。在這些學術領域研究的科學家必須解析複雜的傳輸方程式,求得帶電粒子在時間和空間方面的響應。
或許有些讀者會認為這些理論只是靠著近似來處理一個大系綜 的帶電粒子。從更深的層面來看,帶電粒子也會對非電磁力,像萬有引力,核力或邊界條件 等等,產生響應。
粒子的運動軌道
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電場和磁場的定義
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許多經典電磁學教科書會用勞侖茲力定律來定義電場和磁場。
假設檢驗電荷靜止不動,v = 0 {\displaystyle \mathbf {v} =0} ,則勞侖茲力方程式變為
F = q E {\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} } 。採用國際單位制 ,假設檢驗電荷的電量為1庫侖 ,作用於檢驗電荷的勞倫茲力為1牛頓 ,則檢驗電荷感受到的電場為1牛頓/庫侖。
假設電場為零,則作用於電荷q {\displaystyle q} 的勞侖茲力是
F = q v × B {\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} } 。對於一條線電荷密度為λ {\displaystyle \lambda } 的載流導線,總作用力為
F = ∫ C v × B d q = ∫ C v × B λ d ℓ = ∫ C I × B d ℓ {\displaystyle \mathbf {F} =\int _{\mathbb {C} }\mathbf {v} \times \mathbf {B} \mathrm {d} q=\int _{\mathbb {C} }\mathbf {v} \times \mathbf {B} \lambda \mathrm {d} \ell =\int _{\mathbb {C} }\mathbf {I} \times \mathbf {B} \mathrm {d} \ell } ;其中,C {\displaystyle \mathbb {C} } 是積分路徑,I = λ v {\displaystyle \mathbf {I} =\lambda \mathbf {v} } 是電流向量。
假設電流是穩定電流,則可以將電流從積分內提出,用向量d ℓ {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}} 來表示電流I {\displaystyle \mathbf {I} } 的方向:
F = I ∫ C d ℓ × B {\displaystyle \mathbf {F} =I\int _{\mathbb {C} }\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} } 。這公式給出了,在磁場內,載流導線感受到的磁場力。
使用這公式和必歐-沙伐定律 ,就可以推導出安培力定律 (詳盡細節,請參閱安培力定律 )。
假設,磁場是均勻磁場,積分路徑是垂直於磁場的直線,則
F = I L B {\displaystyle F=ILB} ;其中,L {\displaystyle L} 是積分路徑C {\displaystyle \mathbb {C} } 的長度,
採用國際單位制,假設檢驗電流為1安培 ,作用於載流導線的單位長度的勞侖茲力為1牛頓 /公尺 ,則檢驗電流感受到的磁場為1特斯拉 。
動生電動勢
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法拉第電磁感應定律
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在時間t {\displaystyle t} ,以閉迴路∂ Σ ( t ) {\displaystyle \partial \Sigma (t)} 為邊緣的曲面Σ ( t ) {\displaystyle \Sigma (t)} ,和在此曲面Σ ( t ) {\displaystyle \Sigma (t)} 某些位置的磁場B ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)} 。 一個以常速度v {\displaystyle \mathbf {v} } 移動於磁場B ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)} 的閉迴路∂ Σ ( t ) {\displaystyle \partial \Sigma (t)} 。
法拉第電磁感應定律闡明,穿過任意閉迴路的磁通量 的變化率,與這迴路的電動勢成正比:
E = − d Φ B d t {\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}} ;其中,E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 是電動勢,Φ B {\displaystyle \Phi _{B}} 是磁通量,t {\displaystyle t} 是時間。
在時間t {\displaystyle t} 通過任意曲面Σ ( t ) {\displaystyle \Sigma (t)} 的磁通量Φ B ( t ) {\displaystyle \Phi _{B}(t)} 定義為
Φ B ( t ) = d e f ∫ Σ ( t ) B ( r , t ) ⋅ d a {\displaystyle \Phi _{B}(t)\ {\stackrel {def}{=}}\ \int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} } ;其中,r {\displaystyle \mathbf {r} } 是位置,d a {\displaystyle d\mathbf {a} } 是微小面元素。
給予一個以常速度v {\displaystyle \mathbf {v} } 移動於磁場的閉迴路∂ Σ ( t ) {\displaystyle \partial \Sigma (t)} 。那麼,磁通量對於時間的全微分 是[5]
d Φ B ( t ) = ∫ Σ ( t + d t ) B ( r , t + d t ) ⋅ d a − ∫ Σ ( t ) B ( r , t ) ⋅ d a = ∫ Σ ( t + d t ) B ( r , t ) ⋅ d a + ∫ Σ ( t + d t ) ∂ B ( r , t ) ∂ t d t ⋅ d a − ∫ Σ ( t ) B ( r , t ) ⋅ d a = ∫ Σ ( t + d t ) ∂ B ( r , t ) ∂ t d t ⋅ d a + ∫ Σ t o t a l B ( r , t ) ⋅ d a − ∫ Σ r i b b o n B ( r , t ) ⋅ d a {\displaystyle {\begin{aligned}d\Phi _{B}(t)&=\int _{\Sigma (t+dt)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t+dt)\cdot d\mathbf {a} -\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} \\&=\int _{\Sigma (t+dt)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} +\int _{\Sigma (t+dt)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}dt\cdot d\mathbf {a} -\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} \\&=\int _{\Sigma (t+dt)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}dt\cdot d\mathbf {a} +\int _{\Sigma _{total}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} -\int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} \\\end{aligned}}} ; 其中,Σ ( t ) {\displaystyle \Sigma (t)} 是邊緣為∂ Σ ( t ) {\displaystyle \partial \Sigma (t)} 的曲面,Σ t o t a l {\displaystyle \Sigma _{total}} 是包括Σ ( t + d t ) {\displaystyle \Sigma (t+dt)} 、− Σ ( t ) {\displaystyle -\Sigma (t)} 和Σ r i b b o n {\displaystyle \Sigma _{ribbon}} 的閉曲面,Σ r i b b o n {\displaystyle \Sigma _{ribbon}} 是邊緣∂ Σ ( t + d t ) {\displaystyle \partial \Sigma (t+dt)} 和∂ Σ ( t ) {\displaystyle \partial \Sigma (t)} 形成的邊緣曲面。
根據散度定理 和高斯磁定律 ,
∫ Σ t o t a l B ⋅ d a = ∫ V t o t a l ∇ ⋅ B d τ = 0 {\displaystyle \int _{\Sigma _{total}}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {a} =\int _{\mathbb {V} _{total}}\nabla \cdot \mathbf {B} d\tau =0} ;其中,V t o t a l {\displaystyle \mathbb {V} _{total}} 是閉曲面Σ t o t a l {\displaystyle \Sigma _{total}} 包含的空間,d τ {\displaystyle d\tau } 是微小體元素。
通過邊緣曲面Σ r i b b o n {\displaystyle \Sigma _{ribbon}} 的磁通量可以改變成一個線積分:
∫ Σ r i b b o n B ⋅ d a = ∫ ∂ Σ ( t ) B ⋅ [ d ℓ × ( v d t ) ] = ∫ ∂ Σ ( t ) [ ( v d t ) × B ] ⋅ d ℓ {\displaystyle \int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {a} =\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {B} \cdot [d{\boldsymbol {\ell }}\times (\mathbf {v} dt)]=\int _{\partial \Sigma (t)}[(\mathbf {v} dt)\times \mathbf {B} ]\cdot d{\boldsymbol {\ell }}} 。所以,磁通量對於時間的全導數,或磁通量的變化率為
d Φ B ( t ) d t = ∫ Σ ( t + d t ) ∂ B ( r , t ) ∂ t ⋅ d a − ∫ ∂ Σ ( t ) v × B ⋅ d ℓ {\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}(t)}{dt}}=\int _{\Sigma (t+dt)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}\cdot d\mathbf {a} -\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {v} \times \mathbf {B} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}} 。運動於移動的閉迴路∂ Σ ( t ) {\displaystyle \partial \Sigma (t)} 的一個電荷q {\displaystyle q} 的速度w {\displaystyle \mathbf {w} } 為
w = u + v {\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {u} +\mathbf {v} } ;其中,u {\displaystyle \mathbf {u} } 是相對於閉迴路∂ Σ ( t ) {\displaystyle \partial \Sigma (t)} 的電荷運動速度,v {\displaystyle \mathbf {v} } 是閉迴路∂ Σ ( t ) {\displaystyle \partial \Sigma (t)} 的移動速度。
這電荷會感受到勞侖茲力
F = q ( E + w × B ) {\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )} ;電動勢E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 定義為
E = d e f ∫ ∂ Σ F q ⋅ d ℓ = ∫ ∂ Σ ( E + w × B ) ⋅ d ℓ {\displaystyle {\mathcal {E}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \int _{\partial \Sigma }{\frac {\mathbf {F} }{q}}\cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}} 。根據法拉第電磁感應定律,
E = − d Φ B d t = ∫ ∂ Σ ( E + w × B ) ⋅ d ℓ {\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}=\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}} 。在計算積分時,閉迴路∂ Σ ( t ) {\displaystyle \partial \Sigma (t)} 的微小線元素d ℓ {\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}} 與正在那位置的電荷的u {\displaystyle \mathbf {u} } 平行。所以,
d Φ B ( t ) d t = − ∫ ∂ Σ ( E + v × B ) ⋅ d ℓ {\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}(t)}{dt}}=-\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}} 。令兩個磁通量變化率的方程式相等,除去同有的移動的閉迴路項目,則可得到
∫ ∂ Σ E ⋅ d ℓ = − ∫ Σ ∂ B ∂ t ⋅ d a {\displaystyle \int _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-\int _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {a} } 。應用斯托克斯定理 ,∫ ∂ Σ E ⋅ d ℓ = ∫ Σ ∇ × E ⋅ d a {\displaystyle \int _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\int _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {E} \cdot d\mathbf {a} } ,可以得到
∫ Σ ( ∇ × E + ∂ B ∂ t ) ⋅ d a = 0 {\displaystyle \int _{\Sigma }\left(\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)\cdot d\mathbf {a} =0} 。由於Σ {\displaystyle \Sigma } 是任意取面,可以將被積式從積分中取出:
∇ × E = − ∂ B ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}} 。這是馬克士威-法拉第方程式 。由於這方程式的右手邊是個對於時間的偏導數項目,只涉及固定的閉迴路,不能用來計算移動中的閉迴路。
用馬克士威-法拉第方程式,通常對於時間的偏導數的詮釋只限制為固定邊界。而在另一方面,不論導線的閉迴路是剛硬固定的、是在運動中、是在形變 過程中,不論磁場是不含時的或含時的,法拉第電磁感應定律都成立。但是,對於某些案例,法拉第電磁感應定律並不適用或使用起來很困難。這時候,必須使用勞侖茲力定律。詳盡細節,請參閱法拉第電磁感應定律不適用案例 。
假設閉迴路移動於不含時間的磁場B {\displaystyle \mathbf {B} } ,通過閉迴路的磁通量Φ B {\displaystyle \Phi _{B}} 會因為幾種因素而改變:例如,假若磁場B {\displaystyle \mathbf {B} } 隨著位置改變,閉迴路移動至不同磁場B {\displaystyle \mathbf {B} } 的位置,則磁通量Φ B {\displaystyle \Phi _{B}} 會改變。或者,假若相對於磁場,閉迴路的定向 改變,由於微小元素B ⋅ d A {\displaystyle \mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} } 的改變,磁通量Φ B {\displaystyle \Phi _{B}} 也會改變。再舉一個例子,假若閉迴路掃掠過一個均勻的不含時磁場,由於閉迴路的形變,磁通量Φ B {\displaystyle \Phi _{B}} 會改變。對於這三個案例,法拉第電磁感應定律正確地計算出磁通量變化率d Φ B d t {\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{dt}}} 所產生的電動勢。
對比前面所述狀況,假設固定的閉迴路處於含時磁場B {\displaystyle \mathbf {B} } ,馬克士威-法拉第方程式會顯示出一個非保守性的電場E {\displaystyle \mathbf {E} } 產生於閉迴路,靠著勞侖茲力的q E {\displaystyle q\mathbf {E} } 項目,驅使載電粒子移動於導線。這狀況也會改變磁通量Φ B {\displaystyle \Phi _{B}} ,法拉第電磁感應定律也會正確地計算出磁通量變化率d Φ B d t {\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{dt}}} 所產生的電動勢。
用位勢來表達勞侖茲力方程式
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根據亥姆霍茲分解 (Helmholtz decomposition ),電場和磁場可以用電勢 ϕ {\displaystyle \phi } 和磁向量勢 A {\displaystyle \mathbf {A} } 來表達:
E = − ∇ ϕ − ∂ A ∂ t {\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}
B = ∇ × A {\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} } 其中∇為梯度,∇⋅ 為散度,∇× 為旋度 。
將這兩個公式代入勞侖茲力方程式,則可得到
F = q [ − ∇ ϕ − ∂ A ∂ t + v × ( ∇ × A ) ] {\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right]} 可以化簡為
F = q [ − ∇ ϕ − ∂ A ∂ t + ∇ ( v ⋅ A ) − ( v ⋅ ∇ ) A ] {\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\nabla (\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A} \right]}
勞侖茲力方程式的協變形式
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定義粒子的四維速度 u β {\displaystyle u_{\beta }} 為
u β = d e f ( u 0 , u 1 , u 2 , u 3 ) = γ ( c , − v x , − v y , − v z ) {\displaystyle u_{\beta }\ {\stackrel {def}{=}}\ (u_{0},\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3})=\gamma (c,\,-v_{x},\,-v_{y},\,-v_{z})} ;其中,γ {\displaystyle \gamma } 是勞侖茲因子 ,c {\displaystyle c} 是光速,v = ( v x , v y , v z ) {\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},\,v_{y},\,v_{z})} 是粒子的速度向量。
定義電磁場張量 F α β {\displaystyle F^{\alpha \beta }} 為
F α β = d e f [ 0 − E x / c − E y / c − E z / c E x / c 0 − B z B y E y / c B z 0 − B x E z / c − B y B x 0 ] {\displaystyle F^{\alpha \beta }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}} ;其中,E {\displaystyle \mathbf {E} } 是電場向量,B {\displaystyle \mathbf {B} } 是磁場向量。
結合牛頓運動定律 與勞侖茲力定律在一起,以電磁場張量 寫為反變形式 (contravariant form ):
d p α d τ = q u β F α β {\displaystyle {\frac {dp^{\alpha }}{d\tau }}=qu_{\beta }F^{\alpha \beta }} ;其中,p α {\displaystyle p^{\alpha }} 是四維動量 ,τ {\displaystyle \tau } 是粒子的固有時 。
應用勞侖茲變換 ,電磁場張量可以從一個參考系S {\displaystyle S} 轉換到另一個參考系S ¯ {\displaystyle {\bar {S}}} :
F ¯ μ ν = Λ μ α Λ ν β F α β {\displaystyle {\bar {F}}^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }F^{\alpha \beta }} ;其中,Λ μ α {\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }} 和Λ ν β {\displaystyle {\Lambda ^{\nu }}_{\beta }} 是勞侖茲變換矩陣。
換另一種方法,定義四維勢 A α {\displaystyle A^{\alpha }} 為
A α = d e f ( ϕ / c , A x , A y , A z ) {\displaystyle A^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\phi /c,\,A_{x},\,A_{y},\,A_{z})} ;其中,ϕ {\displaystyle \phi } 是電勢 ,A {\displaystyle \mathbf {A} } 是磁向量勢 。
定義四維坐標 x α {\displaystyle x_{\alpha }} 為
x α = d e f ( c t , − x , − y , − z ) {\displaystyle x_{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (ct,\,-x,\,-y,\,-z)} 。那麼,電磁場張量為[1]
F α β = ∂ A β ∂ x α − ∂ A α ∂ x β {\displaystyle F^{\alpha \beta }={\frac {\partial A^{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}-{\frac {\partial A^{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}} 。從勞侖茲力方程式的張量形式計算向量形式
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先計算四維力 (four-force )的μ = 1 {\displaystyle \mu =1} 分量(x-分量):
γ d p 1 d t = d p 1 d τ = q u β F 1 β = q ( u 0 F 10 + u 1 F 11 + u 2 F 12 + u 3 F 13 ) {\displaystyle \gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}={\frac {dp^{1}}{d\tau }}=qu_{\beta }F^{1\beta }=q\left(u_{0}F^{10}+u_{1}F^{11}+u_{2}F^{12}+u_{3}F^{13}\right)} 。將電磁場張量的分量代入,可以得到
γ d p 1 d t = q ( u 0 ( E x c ) + u 2 ( − B z ) + u 3 ( B y ) ) {\displaystyle \gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}=q\left(u_{0}\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+u_{2}(-B_{z})+u_{3}(B_{y})\right)} 。再將四維速度的分量代入,則會得到
γ d p 1 d t = q γ ( c ( E x c ) + v y B z − v z B y ) = q γ [ E x + ( v × B ) x ] {\displaystyle \gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}=q\gamma \left(c\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)=q\gamma [E_{x}+(\mathbf {v} \times \mathbf {B} )_{x}]} 。類似地,可以計算出四維力的μ = 2 {\displaystyle \mu =2} 和μ = 3 {\displaystyle \mu =3} 分量。所以,
d p d t = q ( E + v × B ) {\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )} 。 參考文獻
編輯
^ 1.0 1.1 1.2 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 204, 326, 417, 541. ISBN 0-13-805326-X .
^ Darrigol, Olivier, Electrodynamics from Ampère to Einstein, Oxford, [England]: Oxford University Press: 327, 2000, ISBN 0-198-50593-0
^ 福克-普朗克方程 . 維基百科,自由的百科全書. 2015-12-13 (中文) .
^ Tai L. Chow. Electromagnetic theory. Sudbury MA: Jones and Bartlett. 2006: pp. 172-175. ISBN 0-7637-3827-1 .
^ Flanders, Harley. Differentiation under the integral sign. American Mathematical Monthly. Jun–Jul 1973, 80 (6): 615–627. doi:10.2307/2319163 .
外部連結
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National High Magnetic Field Laboratory的Java互動教學網頁:勞侖茲力 。