在量子力學裏,Delta位勢壘是一個壘內位勢為狄拉克Delta函數,壘外位勢為0的位勢壘。Delta位勢壘問題專門研討,在這種位勢的作用中,一個移動的粒子的量子行為。我們想要知道的是,在被Delta位勢壘散射的狀況下,粒子的反射係數與透射係數。在許多量子力學的教科書裏,這是一個常見的習題。
一個粒子獨立於時間的薛丁格方程為
- ;
其中, 是約化普朗克常數, 是粒子質量, 是粒子位置, 是能量, 是波函數, 是位勢,表達為
- ;
其中, 是狄拉克Delta函數, 是狄拉克Delta函數的強度。
這位勢壘將一維空間分為兩個區域: 與 。在任何一個區域內,位勢為常數,薛丁格方程的解答可以寫為往右與往左傳播的波函數的疊加(參閱自由粒子):
- ,
- ;
其中, 、 、 、 都是必須由邊界條件決定的常數,下標 與 分別標記波函數往右或往左的方向。 是波數。
由於 , 與 都是行進波。這兩個波必須滿足在 的邊界條件:
- ,
- 。
特別注意第二個邊界條件方程式,波函數隨位置的導數在 並不是連續的,在位勢壘兩邊的差額有 這麼多。這方程式的推導必須用到薛丁格方程。將薛丁格方程積分於 的一個非常小的鄰域:
- ;(1)
其中, 是一個非常小的數值。
方程式(1)右邊的能量項目是
- 。(2)
在 的極限,這項目往著0去。
方程式(1)左邊是
- (3)
根據狄拉克Delta函數的定義,
- 。(4)
而在 的極限,
- ,(5)
- 。(6)
將這些結果(4),(5),(6)代入方程式(3),稍加編排,可以得到第二個邊界條件方程式:在 ,
- 。
從這兩個邊界條件方程式。稍加運算,可以得到以下方程式:
- ,
- 。
由於能量是正值的,粒子可以自由的移動於位勢壘外的兩個半空間, 或 。可是,在Delta位勢壘,粒子會遇到散射狀況。設定粒子從左邊入射。在Delta位勢壘,粒子可能會被反射回去,或者會被透射過去。我們想要知道散射的反射係數與透射係數。設定 , , , 。求算反射的機率幅 與透射的機率幅 :
- ,
- 。
反射係數是
- 。
透射係數是
- 。
這純粹是一個量子力學的效應,稱為量子穿隧效應;在經典力學裏,透射係數等於0,粒子不可能會透射過位勢壘。
- 由於模型的對稱性,假若,粒子從右邊入射,我們也會得到同樣的答案。
- 很奇異地,給予同樣的能量、質量、與狄拉克Delta函數的強度,Delta位勢壘與Delta位勢阱有同樣的反射係數與透射係數。