數學中,特別是叫做群論抽象代數領域中,半直積(semidirect product)是從其中一個是正規子群的兩個子群形成一個的特定方法。半直積是直積的推廣。半直積是作為集合的笛卡爾積,但帶有特定的乘法運算。

群論


內半直積 編輯

定義 編輯

G為群,NG的一個正規子群,並且HG的一個子群。下列命題等價:

  • G = NHNH = {e} (其中eG么元)
  • G的每個元素可以寫作唯一的H的一個元素和N的一個元素的積
  • 自然的嵌入HG, 和自然的投影GG/N的複合,給出一個在HG/N之間的同構
  • 存在同態GH,它的像是H本身而其N

如果這些命題中的一個(從而所有)成立,則稱G是一個NH內半直積,或者說GN上「分裂(splits)」,並寫作G = NH

基本事實 編輯

G是正規子群N和子群H的內半直積,而且NH都是有限的,則G等於NH的階的積。

直積的情況不同,內半直積通常不是唯一的;如果GG' 是兩個群,都包含N為正規子群,並且都包含H為子群,而且二者都是NH的內半直積,則未必 GG' 同構的。

外半直積 編輯

定義 編輯

給定任意兩個群NH(不必是某個群的子群)和一個群同態φ : H → Aut(N)(其中Aut(N)表示N的所有自同構組成的群),我們定義如下的一個新群Nφ H,稱作NH相對於φ外半直積:

基礎的集合是集合直積 N × H,而群運算*給定為

(n1, h1) * (n2, h2) = (n1 φ(h1)(n2), h1 h2)

對於所有N中的n1, n2H中的h1, h2。這確實定義了一個群;其么元為(eN, eH),而元素(n, h)的逆為(φ(h–1)(n–1), h–1)。

基本事實 編輯

N × {eH}是同構於N的正規子群, {eN} × H是同構於H的子群,而Nφ H是這兩個子群的內半直積。

G是一個NH的內半直積,令映射φ : H→Aut(N)為如下同態

φ(h)(n)=hnh–1

G同構於外半直積Nφ H,該同構把乘積nh映到2元組(n,h)。在G中,我們有如下規則

(n1h1)(n2h2) = n1(h1n2h1–1)(h1h2)

而這是上述外半直積的定義的深層原因,也是一個記住它的方便辦法。

群的分裂引理(splitting lemma)的一個版本稱群G同構於兩個群NH的外半直積若且唯若存在短正合序列

 

和一個群同態r : HG 使得v o r = idH, H上的恆等映射。在這種情況, 給出φ : H → Aut(N)如下

φ(h)(n) = u–1(r(h)u(n)r(h–1)).

例子 編輯

有 2n個元素的二面體群 Dn 同構於循環群CnC2的半直積。這裏,C2的非單位元作用於Cn,將元素變成其逆;這是一個自同構因為Cn交換群

平面的剛體運動群(映射f : R2R2 使得xy之間的歐氏距離等於f(x) 和f(y)之間的距離對於所有在R2中的xy成立)同構於交換群R2 (描述平移)和正交 2×2矩陣的群O(2)(描述轉動和反射)的半直積。每個正交矩陣通過矩陣乘法作用在R2上,並且是一個自同構

所有正交n×n矩陣的群O(n)(直觀的講,所有n維空間的所有轉動和反射的集合)同構於群SO(n) (所有行列式值為1的正交矩陣,直觀的講n維空間的轉動的集合)和C2的準直積。如果我們將C2表示為矩陣{I, R}的乘法群,其中Rn維空間的翻轉(也就是行列式為-1的正交對角矩陣),則φ : C2 → Aut(SO(n)) 由φ(H)(N) = H N H–1對所有 在C2中的H 和SO(n)中的N給出。

與直積的關係 編輯

假設G是一個正規子群N和子群H的內半直積。若H也在G中正規,或者說,若存在一個同態GNN上的恆等映射,則GNH直積

兩個群NH的直積可以視為NH相對於φ(h) = idN (對於所有H中的h)的外半直積。

注意在直積中,因子的次序不重要,因為N × H同構於H × N。這在半直積中不成立,因為兩個因子的角色不同。

推廣 編輯

半直積的構造可以推得更廣。在環理論中有一個版本,環的交叉積(crossed product of rings)。一旦構造了群的一個半直積的群環,這可以很自然的看出。還有李代數半直和。給定拓撲空間上的一個群作用,存在一個相應的交叉積,它通常非交換,即使群是可交換的。這樣的環在群作用的軌道空間有重要作用,特別是當該空間不能用常規的拓撲技術處理的時候,例如在阿蘭·孔涅的工作中(細節請參見非交換幾何)。

範疇論中也有推廣。它們表明了如何從「指標範疇(indexed categories)」構造「纖維範疇(fibred categories)」。這是外準直積的抽象形式。

參看 編輯