在量子力學 裏,密度算符 (英語:density operator )與其對應的密度矩陣 (英語:density matrix )專門描述混合態量子系統的物理性質。純態是一種可以直接用態向量 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 來描述的量子態 ,混合態則是由幾種純態依照統計機率 組成的量子態。假設一個量子系統處於純態 | ψ 1 ⟩ {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } 、| ψ 2 ⟩ {\displaystyle |\psi _{2}\rangle } 、| ψ 3 ⟩ {\displaystyle |\psi _{3}\rangle } 、……的機率分別為 w 1 {\displaystyle w_{1}} 、w 2 {\displaystyle w_{2}} 、w 3 {\displaystyle w_{3}} 、……,則這混合態量子系統的密度算符 ρ {\displaystyle \rho } 為
從白熾燈 (1)發射出的光子處於完全隨機偏振混合態(2),密度矩陣為[ 0.5 0 0 0.5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\\\end{bmatrix}}} 。 通過垂直平面偏振器 (3)之後,光子處於垂直偏振純態(4),密度矩陣為[ 1 0 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}} 。
ρ = ∑ i w i | ψ i ⟩ ⟨ ψ i | {\displaystyle {\rho }=\sum _{i}w_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|} 。注意到所有機率的總和為1:
∑ i w i = 1 {\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1} 。假設 { | b i ⟩ , i = 1 , 2 , 3 , … , n } {\displaystyle \{|b_{i}\rangle ,\quad i=1,2,3,\dots ,n\}} 是一組規範正交基 ,則對應於密度算符的密度矩陣 ϱ {\displaystyle \varrho } ,其每一個元素 ϱ i j {\displaystyle \varrho _{ij}} 為
ϱ i j = ⟨ b i | ρ | b j ⟩ = ∑ k w k ⟨ b i | ψ k ⟩ ⟨ ψ k | b j ⟩ {\displaystyle \varrho _{ij}=\langle b_{i}|\rho |b_{j}\rangle =\sum _{k}w_{k}\langle b_{i}|\psi _{k}\rangle \langle \psi _{k}|b_{j}\rangle } 。對於這量子系統,可觀察量 A {\displaystyle A} 的期望值 為
⟨ A ⟩ = ∑ i w i ⟨ ψ i | A | ψ i ⟩ = ∑ i ⟨ b i | ρ A | b i ⟩ = tr ( ρ A ) {\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{i}w_{i}\langle \psi _{i}|{A}|\psi _{i}\rangle =\sum _{i}\langle b_{i}|{\rho }{A}|b_{i}\rangle =\operatorname {tr} ({\rho }{A})} ,是可觀察量 A {\displaystyle A} 對於每一個純態的期望值 ⟨ ψ i | A | ψ i ⟩ {\displaystyle \langle \psi _{i}|{A}|\psi _{i}\rangle } 乘以其權值 w i {\displaystyle w_{i}} 後的總和。
混合態量子系統出現的案例包括,處於熱力學平衡 或化學平衡 的系統、製備歷史不確定或隨機 變化的系統(因此不知道到底系統處於哪個純態)。假設量子系統處於由幾個糾纏 在一起的子系統所組成的純態,則雖然整個系統處於純態,每一個子系統仍舊可能處於混合態。在量子去相干 理論裏,密度算符是重要理論工具。
密度算符是一種線性算符 ,是自伴算符 、非負算符 (英語:nonnegative operator )、跡數 為1的算符。關於密度算符的數學形式論是由約翰·馮·紐曼 與列夫·郎道 各自獨立於1927年給出。[1] [2] :48-55 [3]
純態與混合態
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假設一個量子系統的量子態是純態,則這量子態可以用態向量表示為 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 。幾種純態依照機率組成的量子態稱為混合態。例如,假設一個量子系統處於純態 | ψ 1 ⟩ {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } 、| ψ 2 ⟩ {\displaystyle |\psi _{2}\rangle } 的機率都為50%,則這量子系統處於混合態。密度矩陣專門用來表示混合態。任何量子態,不管是純態,還是混合態,都可以用密度矩陣表示。
混合態與疊加態 的概念不同,幾種純態通過量子疊加所組成的疊加態仍舊是純態。例如,( | ψ 1 ⟩ + | ψ 2 ⟩ ) / 2 {\displaystyle (|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2}}} 是個純態。
光子偏振案例
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平面偏振(紫色)光波的電場(藍色)可以分解為兩個相互垂直的分量(紅色與綠色)。
光子的兩種圓偏振態 ,右旋圓偏振態與左旋圓偏振態,分別以態向量 | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } 、| L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } 標記。光子也可能處於疊加態,例如,垂直偏振態與水平偏振態分別為 ( | R ⟩ + | L ⟩ ) / 2 {\displaystyle (|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}} 、( | R ⟩ − | L ⟩ ) / 2 {\displaystyle (|R\rangle -|L\rangle )/{\sqrt {2}}} 。更一般地,光子偏振所處於的疊加態可以表示為 α | R ⟩ + β | L ⟩ {\displaystyle \alpha |R\rangle +\beta |L\rangle } ;其中,α {\displaystyle \alpha } 、β {\displaystyle \beta } 是系數。這一般式可以表示平面偏振態、圓偏振態、橢圓偏振態等等。
假若讓處於疊加態 ( | R ⟩ + | L ⟩ ) / 2 {\displaystyle (|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}} 的光子通過左旋圓偏振器 ,則出射的光子處於左旋圓偏振態 | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } ;假若通過右旋圓偏振器 ,則出射的光子處於右旋圓偏振態 | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } 。對於這兩種圓偏振模,光子強度都會減半,貌似意味着疊加態 ( | R ⟩ + | L ⟩ ) / 2 {\displaystyle (|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}} 的一半光子處於量子態 | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } ,另一半處於量子態 | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } ,但這種解釋並不正確,處於量子態 | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } 與 | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } 的光子都有可能被垂直平面偏振器 吸收,但是處於量子態 ( | R ⟩ + | L ⟩ ) / 2 {\displaystyle (|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}} 的光子不會被垂直平面偏振器吸收。
從白熾燈 發射出的光子是一種非偏振態 光子,不能用疊加態 α | R ⟩ + β | L ⟩ {\displaystyle \alpha |R\rangle +\beta |L\rangle } 來描述。特別而言,與平面偏振態光子不同,它通過任何偏振器後都會失去50%強度,與圓偏振態光子不同,使用波片 (waveplate)不能直接將它改變為平面偏振態光子。非偏振態光子可以描述為,處於 | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } 的機率是50%,處於 | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } 的機率是50%。它也可以描述為,處於垂直偏振態的機率是50%,處於水平偏振態的機率是50%。
非偏振態光子的量子態不是純態,而是由幾種純態依照統計機率組成。它可以由50%右旋圓偏振態與50%左旋圓偏振態組成,或者,它可以由50%垂直偏振態與50%水平偏振態組成。這兩種組合無法做實驗辨識區分,因此它們被視為同樣的混合態。密度算符含有混合態的所有資料,足夠計算任何關於混合態的可測量性質。
混合態到底源自何處?試想非偏振態光子是怎樣製成的。一種方法是利用處於動力學平衡的系統,這系統擁有很多個微觀態 (microstate),伴隨每一個微觀態都有其發生的機率(波茲曼因子 ),它們會因熱力學漲落 (thermal fluctuation)從一個微觀態變換到另一個微觀態。熱力學隨機性可以解釋白熾燈怎樣發射非偏振光子。另一種方法是引入不確定性於系統的製備程序,例如,將光束通過表面粗糙的雙折射晶體 ,使得光束的不同部分獲得不同偏振。第三種方法應用EPR機制 ,有些放射性衰變會發射兩個光子朝着反方向移動離開,這糾纏系統的量子態為 ( | R , L ⟩ + | L , R ⟩ ) / 2 {\displaystyle (|R,L\rangle +|L,R\rangle )/{\sqrt {2}}} ,整個系統是處於純態,但是每一個光子子系統的物理行為如同非偏振態光子,從分析光子子系統的約化密度算符,可以得到這結論。
一般而言,混合態時常會出現於幾種純態的統計性混合(例如熱力學平衡)、製備程序的不確定性(例如光子可能移動於稍微不同路徑)、包含在糾纏系統內的子系統(例如EPR機制)。
數學表述
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假設一個量子系統的量子態是純態,則這量子態可以用態向量表示為 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } ,對應的密度算符定義為[4] :309-313
ρ = d e f | ψ ⟩ ⟨ ψ | {\displaystyle \rho \ {\stackrel {def}{=}}\ |\psi \rangle \langle \psi |} 。從密度算符的形式,可以推論密度算符是自伴算符 :
ρ † = ( | ψ ⟩ ⟨ ψ | ) † = | ψ ⟩ ⟨ ψ | = ρ {\displaystyle \rho ^{\dagger }=(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\dagger }=|\psi \rangle \langle \psi |=\rho } 。假設,物理量 A {\displaystyle A} 是這量子系統的可觀察量 ,其本徵值 為 a i {\displaystyle a_{i}} 的本徵態 | a i ⟩ , i = 1 , 2 , 3 , ⋯ , n {\displaystyle |a_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n} 形成一個規範正交基 { | a i ⟩ } {\displaystyle \{|a_{i}\rangle \}} ,則對可觀察量 A {\displaystyle A} 做測量得到 a i {\displaystyle a_{i}} 的機率 P ( a i ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(a_{i})} 為[5] :96-99
P ( a i ) = d e f | ⟨ a i | ψ ⟩ | 2 = ⟨ a i | ψ ⟩ ⟨ ψ | a i ⟩ = ∑ k ⟨ a k | a i ⟩ ⟨ a i | ψ ⟩ ⟨ ψ | a k ⟩ = ∑ k ⟨ a k | Λ ( a i ) ρ | a k ⟩ = tr ( Λ ( a i ) ρ ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {P}}(a_{i})&\ {\stackrel {def}{=}}\ |\langle a_{i}|\psi \rangle |^{2}=\langle a_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a_{i}\rangle \\&=\sum _{k}\langle a_{k}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a_{k}\rangle \\&=\sum _{k}\langle a_{k}|\Lambda (a_{i})\rho |a_{k}\rangle \\&={\hbox{tr}}(\Lambda (a_{i})\rho )\\\end{aligned}}} ; 其中,Λ ( a i ) = d e f | a i ⟩ ⟨ a i | {\displaystyle \Lambda (a_{i})\ {\stackrel {def}{=}}\ |a_{i}\rangle \langle a_{i}|} 是對應於本徵態 | a i ⟩ {\displaystyle |a_{i}\rangle } 的投影算符 ,[註 1] tr ( ) {\displaystyle {\hbox{tr}}()} 是跡數 。
做實驗測量可觀察量 A {\displaystyle A} 獲得的期望值 為
⟨ A ⟩ = d e f ∑ i a i P ( a i ) = ∑ i a i ⟨ a i | ψ ⟩ ⟨ ψ | a i ⟩ = ∑ i a i ⟨ a i | ρ | a i ⟩ = ∑ i ⟨ a i | A ρ | a i ⟩ = tr ( A ρ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\langle A\rangle &\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{i}a_{i}{\mathcal {P}}(a_{i})=\sum _{i}a_{i}\langle a_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a_{i}\rangle \\&=\sum _{i}a_{i}\langle a_{i}|\rho |a_{i}\rangle =\sum _{i}\langle a_{i}|A\rho |a_{i}\rangle ={\hbox{tr}}(A\rho )\\\end{aligned}}} 。 這種可觀察量的期望值與跡數運算之間的關係稱為跡定則 (trace rule)。[6] :36 對於不同的規範正交基,跡數是個不變量。採用任何規範正交基,都可以計算出同樣跡數。[註 2] 另外,機率公式與期望值公式對於密度算符都具有線性 ,這是很優良的性質,這意味着機率公式與期望值公式也適用於幾個密度算符的線性組合。
由於 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 被歸一化, 密度算符的跡數為1:
tr ( ρ ) = tr ( | ψ ⟩ ⟨ ψ | ) = ∑ i ⟨ a i | ψ ⟩ ⟨ ψ | a i ⟩ = ∑ i ⟨ ψ | a i ⟩ ⟨ a i | ψ ⟩ = ⟨ ψ | ψ ⟩ = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\hbox{tr}}(\rho )&={\hbox{tr}}(|\psi \rangle \langle \psi |)=\sum _{i}\langle a_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a_{i}\rangle \\&=\sum _{i}\langle \psi |a_{i}\rangle \langle a_{i}|\psi \rangle =\langle \psi |\psi \rangle =1\\\end{aligned}}} 。 對於任意歸一化量子態 ϕ {\displaystyle \phi } ,
0 ≤ ⟨ ϕ | ρ | ϕ ⟩ = ⟨ ϕ | ψ ⟩ ⟨ ψ | ϕ ⟩ = | ⟨ ϕ | ψ ⟩ | 2 ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \langle \phi |\rho |\phi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle \langle \psi |\phi \rangle =|\langle \phi |\psi \rangle |^{2}\leq 1} ,所以,密度算符是非負算符 (nonnegative operator)。
將先前純態密度算符的定義式加以延伸,假設在一個量子系統處於純態 | ψ 1 ⟩ {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } 、| ψ 2 ⟩ {\displaystyle |\psi _{2}\rangle } 、| ψ 3 ⟩ {\displaystyle |\psi _{3}\rangle } 、……的機率分別為 w 1 {\displaystyle w_{1}} 、w 2 {\displaystyle w_{2}} 、w 3 {\displaystyle w_{3}} 、……,則這混合態量子系統的密度算符 ρ {\displaystyle \rho } 為[4] :311-313
ρ = d e f ∑ i w i | ψ i ⟩ ⟨ ψ i | {\displaystyle {\rho }\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{i}w_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|} 。每一個機率都是非負實值,所有機率的總和為1:
0 ≤ w i ≤ 1 {\displaystyle 0\leq w_{i}\leq 1} ,
∑ i w i = 1 {\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1} 。按照「無知詮釋」,這種量子系統確定是處於某個純態ψ i {\displaystyle \psi _{i}} ,但是無法知道到底是哪一個純態。這種可以用無知詮釋來論述的量子系統稱為「真混合物」(proper mixture),否則,稱為「瑕混合物」(improper mixture)。[7] [註 3]
回想在純態段落裏,機率公式與期望值公式對於密度算符都具有線性 ,這意味着對於混合態的密度算符,這些公式也都適用。加以延伸後的密度算符,也具有先前純態的密度算符所擁有的性質:
密度算符是自伴算符:ρ = ρ † {\displaystyle \rho =\rho ^{\dagger }} 。
密度算符的跡數為1:tr ( ρ ) = 1 {\displaystyle {\hbox{tr}}(\rho )=1} 。
對可觀察量 A {\displaystyle A} 做測量得到 a i {\displaystyle a_{i}} 的機率為 P ( a i ) = tr ( Λ ( a i ) ρ ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(a_{i})={\hbox{tr}}(\Lambda (a_{i})\rho )} 。
做實驗測量可觀察量 A {\displaystyle A} 獲得的期望值 為 ⟨ A ⟩ = tr ( A ρ ) {\displaystyle \langle A\rangle ={\hbox{tr}}(A\rho )} 。
密度算符是非負算符:0 ≤ ⟨ ϕ | ρ | ϕ ⟩ ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \langle \phi |\rho |\phi \rangle \leq 1} 。 由於密度算符 ρ {\displaystyle \rho } 是自伴算符,它具有譜表示
ρ = ∑ i a i | a i ⟩ ⟨ a i | {\displaystyle \rho =\sum _{i}a_{i}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|} ;其中,| a i ⟩ {\displaystyle |a_{i}\rangle } 是本徵值 為 a i {\displaystyle a_{i}} 的本徵態 ,所有 | a i ⟩ {\displaystyle |a_{i}\rangle } 形成一個規範正交基 。
按照自伴算符的定義,每一個本徵值 a i {\displaystyle a_{i}} 是它自己的共軛:
a i = a i ∗ {\displaystyle a_{i}=a_{i}^{*}} 。由於密度算符 ρ {\displaystyle \rho } 是非負算符,每一個本徵值 a i {\displaystyle a_{i}} 都是非負值。
由於密度算符 ρ {\displaystyle \rho } 的跡數為1,
∑ i a i = 1 {\displaystyle \sum _{i}a_{i}=1} 。給定一個量子系統,其所有可能的密度算符組成一個凸集 。假設 ρ i , i = 1 , 2 , 3 , . . . , n {\displaystyle \rho _{i},\quad i=1,2,3,...,n} 屬於這凸集,則 ρ = ∑ i c i ρ i {\displaystyle \rho =\sum _{i}c_{i}\rho _{i}} 也屬於這凸集;其中,0 ≤ c i ≤ 1 {\displaystyle 0\leq c_{i}\leq 1} 是系數,∑ i c i = 1 {\displaystyle \sum _{i}c_{i}=1} 。[2] :51
用密度算符辨認純態與混合態
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由於純態的密度算符定義式為[4] :311-313
ρ = d e f | ψ ⟩ ⟨ ψ | {\displaystyle \rho \ {\stackrel {def}{=}}\ |\psi \rangle \langle \psi |} ,所以純態的密度算符具有特徵
ρ 2 = ρ {\displaystyle \rho ^{2}=\rho } 。
tr ( ρ 2 ) = tr ( ρ ) = 1 {\displaystyle {\hbox{tr}}(\rho ^{2})={\hbox{tr}}(\rho )=1} 。否則,非純態的密度算符遵守關係式
tr ( ρ 2 ) < tr ( ρ ) = 1 {\displaystyle {\hbox{tr}}(\rho ^{2})<{\hbox{tr}}(\rho )=1} 。另外,將純態的密度矩陣 ϱ {\displaystyle \varrho } 對角化後,只能有一個對角元素等於1,其它對角元素都等於0,例如,一種形式為[8] :178-183
ϱ = [ 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 ] {\displaystyle \varrho ={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}} 。 量子態的純度 γ {\displaystyle \gamma } 定義為
γ = tr ( ρ 2 ) {\displaystyle \gamma ={\hbox{tr}}(\rho ^{2})} 。純態的純度為1。處於N維希爾伯特空間、完全混合的混合態,其對角元素的數值為1 / N {\displaystyle 1/N} 、非對角元素的數值為0,其純度為1 / N {\displaystyle 1/N} 。[6] :40-41
馮諾伊曼熵 是另一種描述量子態混合程度的量度。
連續性本徵態基底
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位置 是一種連續性 可觀察量,具有連續性本徵值譜,用這種可觀察量的連續性本徵態為基底,密度矩陣 ϱ {\displaystyle \varrho } 含有兩個位置參數 x ′ {\displaystyle x'} 、x ″ {\displaystyle x''} :[8] :186
ϱ ( x ′ , x ″ ) = ∑ i w i ψ i ( x ′ ) ψ i ∗ ( x ″ ) {\displaystyle \varrho (x',x'')=\sum _{i}w_{i}\psi _{i}(x')\psi _{i}^{*}(x'')} 。可觀察量 A {\displaystyle A} 的期望值為
⟨ A ⟩ = tr ( A ρ ) = ∫ d x ′ ∫ d x ″ ⟨ x ′ | A | x ″ ⟩ ⟨ x ″ | ρ | x ′ ⟩ {\displaystyle \langle A\rangle ={\hbox{tr}}(A\rho )=\int \mathrm {d} x'\int \mathrm {d} x''\langle x'|A|x''\rangle \langle x''|\rho |x'\rangle } 。複合系統
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假設密度算符為 ρ {\displaystyle \rho } 的複合系統是由兩個子系統 A {\displaystyle A} 、B {\displaystyle B} 組成,這兩個子系統的物理行為分別由其對應約化密度算符 (reduced density operator) ρ A {\displaystyle \rho _{A}} 、ρ B {\displaystyle \rho _{B}} 描述:[4] :120-125,128-129 [註 3]
ρ A = tr B ( ρ ) {\displaystyle \rho _{A}={\hbox{tr}}_{B}(\rho )} 、
ρ B = tr A ( ρ ) {\displaystyle \rho _{B}={\hbox{tr}}_{A}(\rho )} ;其中,tr B {\displaystyle {\hbox{tr}}_{B}} 、tr A {\displaystyle {\hbox{tr}}_{A}} 分別是對於子系統B {\displaystyle B} 、A {\displaystyle A} 的偏跡數 (partial trace)。
這複合系統的兩個子系統之間沒有任何關聯(沒有任何量子關聯 或經典關聯),若且唯若 ρ {\displaystyle \rho } 是 ρ A {\displaystyle \rho _{A}} 與 ρ B {\displaystyle \rho _{B}} 的張量積 :
ρ = ρ A ⊗ ρ B {\displaystyle \rho =\rho _{A}\otimes \rho _{B}} 。約化密度算符
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約化密度算符最先由保羅·狄拉克 於1930年提出[9] 。假設兩個希爾伯特空間H A {\displaystyle H_{A}} 、H B {\displaystyle H_{B}} 的規範正交基 分別為{ | a i ⟩ A } {\displaystyle \{|a_{i}\rangle _{A}\}} 、{ | b j ⟩ B } {\displaystyle \{|b_{j}\rangle _{B}\}} ,分別在這兩個希爾伯特空間H A {\displaystyle H_{A}} 、H B {\displaystyle H_{B}} 的兩個子系統A {\displaystyle A} 、B {\displaystyle B} 所組成的複合系統,其量子態為純態| ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } ,其密度算符 ρ {\displaystyle \rho } 為
ρ = | ψ ⟩ ⟨ ψ | {\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |} 。取密度算符ρ {\displaystyle \rho } 對於子系統B {\displaystyle B} 的偏跡數 ,可以得到子系統A {\displaystyle A} 的約化密度算符ρ A {\displaystyle \rho _{A}} :
ρ A = d e f ∑ j ⟨ b j | B ( | ψ ⟩ ⟨ ψ | ) | b j ⟩ B = tr B ( ρ ) {\displaystyle \rho _{A}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j}\langle b_{j}|_{B}\left(|\psi \rangle \langle \psi |\right)|b_{j}\rangle _{B}={\hbox{tr}}_{B}(\rho )} 。例如,糾纏態| ψ ⟩ A B = ( | 0 ⟩ A ⊗ | 1 ⟩ B − | 1 ⟩ A ⊗ | 0 ⟩ B ) / 2 {\displaystyle |\psi \rangle _{AB}=(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})/{\sqrt {2}}} ,其子系統A {\displaystyle A} 的約化密度算符ρ A {\displaystyle \rho _{A}} 為
ρ A = 1 2 ( | 0 ⟩ A ⟨ 0 | A + | 1 ⟩ A ⟨ 1 | A ) {\displaystyle \rho _{A}={\frac {1}{2}}{\bigg (}|0\rangle _{A}\langle 0|_{A}+|1\rangle _{A}\langle 1|_{A}{\bigg )}} 。如同預想,這公式演示出,子系統A {\displaystyle A} 的約化密度算符ρ A {\displaystyle \rho _{A}} 為混合態。
熱平衡態
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馮諾伊曼方程式
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馮諾伊曼熵
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^ 對於本徵態 | a i ⟩ {\displaystyle |a_{i}\rangle } 的投影算符 Λ ( a i ) {\displaystyle \Lambda (a_{i})} ,假若作用於量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } ,則會得到 | a i ⟩ {\displaystyle |a_{i}\rangle } 與對應機率幅 的乘積:
Λ ( a i ) | ψ ⟩ = | a i ⟩ ⟨ a i | ψ ⟩ = c i | a i ⟩ {\displaystyle \Lambda (a_{i})|\psi \rangle =|a_{i}\rangle \langle a_{i}|\psi \rangle =c_{i}|a_{i}\rangle } ;
其中,c i {\displaystyle c_{i}} 是在本徵態 | a i ⟩ {\displaystyle |a_{i}\rangle } 裏找到 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 的機率幅 。
^ 給定兩個規範正交基 { | a i ⟩ } , { | b i ⟩ } {\displaystyle \{|a_{i}\rangle \},\{|b_{i}\rangle \}} ,對於任意算符 W {\displaystyle W} ,
tr ( W ) = ∑ i ⟨ a i | W | a i ⟩ = ∑ i , j ⟨ a i | b j ⟩ ⟨ b j | W | a i ⟩ = ∑ i , j ⟨ b j | W | a i ⟩ ⟨ a i | b j ⟩ = ∑ j ⟨ b j | W | b j ⟩ {\displaystyle \operatorname {tr} (W)=\sum _{i}\langle a_{i}|W|a_{i}\rangle =\sum _{i,j}\langle a_{i}|b_{j}\rangle \langle b_{j}|W|a_{i}\rangle =\sum _{i,j}\langle b_{j}|W|a_{i}\rangle \langle a_{i}|b_{j}\rangle =\sum _{j}\langle b_{j}|W|b_{j}\rangle } 。
因此,對於不同的規範正交基,跡數是個不變量。
^ 3.0 3.1 在量子去相干 裏,約化密度算符 代表的是反常混合物,它不能被視為處於某個未知的純態;它是依賴環境與系統之間的相互作用使得所有的非對角元素趨於零,實際而言,這些非對角元素所表現的量子相干性 已被遷移至環境,只有從整個密度算符才能查覺到這量子相干性的存在。[6] :48-49
^ 在薛定諤繪景裏,純態隨着時間而演化的形式為
| ψ i ( t ) ⟩ = e − i H ( t − t 0 ) | ψ i ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi _{i}(t)\rangle =e^{-iH(t-t_{0})}|\psi _{i}(t_{0})\rangle } 。
因此,密度算符與時間無關:
ρ ( t ) = ∑ i w i | ψ i ( t ) ⟩ ⟨ ψ i ( t ) | = ∑ i w i ( | ψ i ( t 0 ) ⟩ e i H ( t − t 0 ) e − i H ( t − t 0 ) ⟨ ψ i ( t 0 ) | ) = ∑ i w i ( | ψ i ( t 0 ) ⟩ ⟨ ψ i ( t 0 ) | ) {\displaystyle {\begin{aligned}\rho (t)&=\sum _{i}w_{i}|\psi _{i}(t)\rangle \langle \psi _{i}(t)|\\&=\sum _{i}w_{i}\left(|\psi _{i}(t_{0})\rangle e^{iH(t-t_{0})}e^{-iH(t-t_{0})}\langle \psi _{i}(t_{0})|\right)\\&=\sum _{i}w_{i}\left(|\psi _{i}(t_{0})\rangle \langle \psi _{i}(t_{0})|\right)\\\end{aligned}}} 。
採用薛定諤繪景來計算密度算符這動作很合理,因為密度算符是由薛定諤包量與薛定諤括量共同組成,而這兩個向量都是隨着時間流逝而演進。
^ 矩陣對數 (logarithm of a matrix)也是矩陣;後者的矩陣指數 等於前者。這是純對數 的推廣。這運算是矩陣指數的反函數 。並不是所有矩陣都有對數,有些矩陣有很多個對數。
參考資料
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