平凡 (數學)

數學中，術語平凡或平凡的經常用於結構非常簡單的對象（比如群或拓撲空間），有時亦會用明顯或乏趣這兩個詞代替，但對非數學工作者來說，它們有時可能比其他更複雜的對象更難想像或理解。

例如：

• 明顯因數：對於每個正整數 n 來說，1、-1、n 和 -n 都是它的明顯因數。
• 空集：不包含任何元素的集合；
• 平凡群：只含單位元的群；
• 平凡環：定義於單元素集合的環。

平凡解

平凡也用於一個方程具有非常簡單結構的解，但是為了完整性不能省略。這種解稱為平凡解。例如，考慮微分方程

$y'=y$

這裏 y = f(x) 為函數，其導數為 y′。

y = 0，0 函數是平凡解；

y (x) = e^x，指數函數是一個非平凡解。

類似地，數學家經常將費馬大定理描述為方程 $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ 對 n > 2 沒有非平凡解。 顯然，這個方程確實有解。比如 $a=b=c=0$ 對任何 n 都是解，a = 1, b = 0, c = 1 也一樣。但是這種解是顯然而無趣的，從而稱為平凡。

數學推理

平凡也經常指證明中容易的情形，為了完整性而不能省略。比如，數學歸納法證明分為兩部分：「奠基步驟」是對一個特殊起始值比如 n = 0 或 n = 1 證明定理；然後歸納步驟證明如果定理對特定值 n 成立，那麼對 n+1 也成立。奠基情形經常是顯然的。（但是，也有歸納步驟是平凡的而奠基情形卻困難的例子。關於多項式的定理經常是這種類型，證明對變元的個數用歸納法。證明如果係數環 A 是唯一分解整環那麼 A[X₁,...,X_n] 是唯一分解整環，歸納步驟只要簡單的寫成 A[X₁,...,X_n] = A[X₁,...,X_n-1][X_n]，而一個變元的奠基情形是困難的。）類似地，我們可能想證明某種性質對一個集合中所有元素都成立。證明的主要考慮非空集合，詳細檢驗其元素是否具有該性質；但如果集合是空集，則性質對其所有元素都成立，因為沒有元素需要檢驗。（參見空洞的事實）

數學界一個常見的笑話是說「平凡」和「被證明了的」是同義詞——這就是說，任何定理如果已知成立就可以認為是「平凡」的。另一個笑話是關於兩個數學家討論一個定理。第一個數學家說某個定理是「平凡的」。另一個要求一個解釋，然後他進行了 20 分鐘的解說。解說完了之後，第二個數學家同意這個定理是平凡的。這個笑話指出對平凡性判斷的主觀性。舉個例子，對微積分熟練的人，會認為這個定理

$\int _{0}^{1}x^{2}\,dx=1/3$

是平凡的。但對初學者來說，可能一點也不顯然。

值得注意的是，平凡性也取決於語境。泛函分析中的證明可能會給出一個數，平凡地假設存在這樣的大數。在初等數論中證明自然數的基本結論時，證明也許會與「每個自然數都有一個後繼」息息相關，但此點需加以證明，或者將其作為一個公理。

相關條目

• 退化 (數學)
• 始對象和終對象
• 病態 (數學)
• 瑣碎論

外部連結

• Trivial entry at MathWorld （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）