在物理學上,歐拉方程統治剛體的轉動。我們可以選取相對於慣量的主軸坐標為體坐標軸系。這使得計算得以簡化,因為我們現在可以將角動量的變化分成分別描述L{\displaystyle \mathbf {L} }的大小變化和方向變化的部分,並進一步將慣量對角化。
這些方程是:
其中L{\displaystyle \mathbf {L} }是角動量在體坐標系中的表達,(dLdt)relative{\displaystyle \left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relative} }}是物體角動量相對於體坐標系的變化, ω{\displaystyle \mathbf {\omega } }是在體坐標系中的角速度,而N{\displaystyle \mathbf {N} }是外力矩。
採用主軸坐標,I對角化,則L{\displaystyle \mathbf {L} } 分量形式為I1ω1e1+I2ω2e2+I3ω3e3{\displaystyle I_{1}\omega _{1}\mathbf {e} _{1}+I_{2}\omega _{2}\mathbf {e} _{2}+I_{3}\omega _{3}\mathbf {e} _{3}} 。從而,歐拉方程變為如下分量形式
方程左邊為0時,還是有非平凡解:無力矩進動。
該方程也可以使用在坐標軸不在物體上的場合,(dLdt)relative{\displaystyle \left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relative} }} 不再連接到物體本身。ω{\displaystyle \mathbf {\omega } } 是圍繞固定坐標軸的轉動而不是物體本身的轉動。但是,所選的軸必須還是主軸,因為它是對角化的必要條件。這個形式的歐拉方程對於有旋轉對稱性的物體很有用,因為有些主軸的選取是自由的。