級數

此條目介紹的是一個序列的總和。關於用序列表述的一串數字，請見「數列」。

級數（英語：Series）是數學中一個有窮或無窮的序列例如$u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}\ldots$之和，即$s=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots$，如果序列是有窮序列，其和稱為有窮級數；反之，稱為無窮級數（一般也簡稱為級數）。

序列$u_{0},u_{1},u_{2},\ldots$中的項稱作級數的通項（或一般項）。級數的通項可以是實數、矩陣或向量等常量，也可以是關於其他變量的函數，不一定是一個數。一般的，如果級數的通項是常量，則稱之為常數項級數，如果級數的通項是函數，則稱之為函數項級數。常見的簡單有窮數列的級數包括等差數列和等比數列的級數。

有窮數列的級數一般通過初等代數的方法就可以求得。無窮級數有發散和收斂的區別，稱為無窮級數的斂散性。判斷無窮級數的斂散性是無窮級數研究中的主要工作。無窮級數在收斂時才會有一個和；發散的無窮級數在一般意義上沒有和，但可以用一些別的方式來定義。

無窮級數的研究更多的需要數學分析的方法來解決。無窮級數一般寫作$\textstyle u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots$，使用求和符號時記作$\textstyle \sum u_{n}$或者$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$，級數收斂時，其和通常被表示為$s=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$。

無窮級數的定義

設$(u_{n})$是一個無窮序列 ：$u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n},\ldots$，其前n項的和稱為$\sum u_{n}$的部分和：

$s_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots +u_{n}$

$(u_{n})$部分和依次構成另一個無窮序列：$s_{1},s_{2},s_{3},\ldots ,s_{n},\ldots$

這兩個序列合稱為一個級數，記作$\sum u_{n}$或者$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$。

無窮級數的斂散性

對於級數$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$，如果當$n$趨於正無窮大時，$s_{n}$趨向一個有限的極限：$s=\lim _{n\to \infty }s_{n}$，那麼這個無窮級數就叫做是收斂的，$s$叫做級數$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$的和。如果極限不存在，這個無窮級數就是發散的。收斂的無窮級數存在唯一的一個和$s$。這時可以定義級數$\sum u_{n}$的餘項和：$R_{n}=S-S_{n}$。

任意項級數

如果級數$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$中的各項可以是正數，負數或零，則級數$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$稱為任意項級數。 將任意項級數各項$u_{n}$取絕對值，得到正項級數。 $\sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|=|u_{1}|+|u_{2}|+|u_{3}|+\cdots +|u_{n}|+\cdots$

條件收斂

如果任意項級數$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$收斂，而級數$\sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|$發散，則稱級數$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$條件收斂。

絕對收斂

如果級數$\sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|$收斂，則稱級數絕對收斂

定理：如果任意項級數$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$的各項的絕對值所組成的正項級數$\sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|$收斂，則級數$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$收斂。

證明：

令 $a_{n}={\frac {1}{2}}(|u_{n}|+u_{n}),b_{n}={\frac {1}{2}}(|u_{n}|-u_{n})$ 於是，有 $0\leq a_{n}\leq |u_{n}|,0\leq b_{n}\leq |u_{n}|$ 因為$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$,$\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$均為正項級數，且$\sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|$收斂，由比較審斂法知，級數$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$和$\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$收斂。 又因為$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-b_{n})$,所以由級數的定義可得，級數$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$收斂。 該定理表明，如果級數$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$絕對收斂，則級數$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$必收斂。

收斂級數的性質

• 若一個無窮級數$\sum u_{n}\ :\ u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots +u_{n}+\cdots$收斂，其和為$s$，則如果每一項乘以一個常數$a$，得到的級數$\sum au_{n}:\ au_{1}+au_{2}+au_{3}+\cdots +au_{n}+\cdots$也收斂，且和等於as。

• 收斂的無窮級數可以逐項相加或相減，如有兩個無窮級數：

$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}=s$和 $\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}=t$，則

$\sum _{n=1}^{\infty }(u_{n}\pm v_{n})=s\pm t$.

• 級數前面加上有限項或減去有限項不影響其斂散性，如：

$s=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots +u_{n}+\cdots$和 $s=u_{12}+u_{15}+u_{16}+u_{17}+\cdots +u_{n}+\cdots$

這兩個級數的斂散性是一樣的。

• 當$n$趨向無限大時，任何一個收斂級數的通項都趨於0：$\lim _{n\to \infty }u_{n}=0$

• 在一個完備空間中，也可以運用柯西收斂的準則來判斷級數是否收斂：一個無窮級數$\sum _{n=1}^{+\infty }u_{n}$收斂的充要條件是，對任意$\epsilon >0$ ，總存在$N_{0}>0$，使得任意的$n>m>N_{0}$，$|s_{n}-s_{m}|=|\sum _{k=m+1}^{n}u_{k}|=|u_{m+1}+u_{m+2}+\cdots +u_{n}|<\epsilon$。

無窮級數的研究歷史

將一個函數展開成無窮級數的概念最早來自14世紀印度的馬德哈瓦。他首先發展了冪級數的概念，對泰勒級數、麥克勞林級數、無窮級數的有理逼近以及無窮連分數做了研究。他發現了正弦、餘弦、正切函數等的泰勒展開，還用冪級數計算了 π 的值。他的學生繼承和發展了他關於級數的工作。

17世紀，詹姆斯·格里高利也開始研究無窮級數，並發表了若干函數的麥克勞林展開式。1715年，布魯克·泰勒提出了構造一般解析函數的泰勒級數的方法。18世紀時歐拉又發展了超幾何級數和q-級數的理論。

對審斂法的研究

14世紀時，馬德哈瓦已經開始討論判別無窮級數斂散性的方法。他提出了一些審斂的準則，後來他的學生將其推廣。

然而在歐洲，審查無窮級數是否收斂的研究一般被認為是從19世紀由高斯開始的。他於1812年發表了關於歐拉的超幾何級數

$1+{\frac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}x+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2}+\cdots$

的論文，提出了一些簡單的收斂準則，並對餘項和以及收斂半徑進行了討論。

柯西提出了嚴格的審斂法的重要性，他證明了兩個收斂級數的乘積不一定是收斂的，同時開始研究嚴格的審斂準則。歐拉和高斯各自給出了各種審斂法則。柯西更研究了複函數的冪級數展開。

1826年，阿貝爾在他的關於二項式級數

$1+{\frac {m}{1}}x+{\frac {m(m-1)}{2!}}x^{2}+\cdots$

的論文中更正了柯西的若干個結論，並給出了二項式級數的嚴格的求和方法，指出了連續性在收斂問題中的重要性。

柯西提出的審斂法並不是普遍適用的，只能用於判別某些特定函數的斂散性。同時代的其他數學家，比如拉貝（Joseph Ludwig Raabe）的對數判別法，德·摩根的對數判別法（被 DuBois-Reymond和普林斯海姆證明對某些函數失效） ，以及貝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的審斂法也是如此。

對普遍的審斂法則的研究由恩斯特·庫默爾開始，之後的艾森斯坦、維爾斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力於這一領域。普林斯海姆於1889年發表的論文闡述了完整的普適審斂理論。

對一致連續性的研究

1821年，柯西首先開始對一致連續性的研究，但其中有不少錯誤和局限。這些錯誤最早被阿貝爾指出，但首先得出正確結論的是西德爾和斯托克斯。1853年，柯西在注意到阿貝爾的批評後重新開展研究，並得到了與斯托克斯一樣的結論。然而，一致連續性的重要性在很長一段時間裏沒有受到重視。

類別

更多級數請參見級數列表。

幾何級數

主條目：幾何級數

幾何級數（或等比級數）是指通項為等比數列的級數，比如：

$1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}=2$

一般來說，幾何級數$\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}$收斂若且唯若$\left\vert z\right\vert <1$。

調和級數

主條目：調和級數

調和級數是指通項為${1 \over n}$的級數：

$1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}$

它是發散的。

$p$-級數

$p$-級數是指通項為${\frac {1}{n^{p}}}$的級數：

$U_{p}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}$

對於實數值的$p$，當$p>1$時收斂，當$p\leq 1$時發散。這可以由積分比較審斂法得出。

函數$\zeta :p\mapsto U_{p}$是黎曼ζ函數在實軸大於1的部分的限制，關於黎曼$\zeta$函數有著名的黎曼猜想。 特別地，當$p=1$時，$p$-級數即為調和級數。

裂項級數

$\sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})$

收斂若且唯若數列$b_{n}$收斂到某個極限$L$，並且這時級數的和是$b_{1}-L$。

泰勒級數

主條目：泰勒級數

泰勒級數是關於一個光滑函數$f$在一點$a$附近取值的級數。泰勒函數由函數在點$a$的各階導數值構成，具體形式為：

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

這是一個冪級數。如果它在$a$附近收斂，那麼就稱函數$f$在點$a$上是解析的。

交錯級數

具有以下形式的級數

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!$

其中所有的$a_{n}$非負，被稱作交錯級數。交錯級數的收斂通常要藉助萊布尼茨判別法。

冪級數

主條目：冪級數

形同$\sum a_{n}(x-x_{0})^{n}$的函數項無窮級數稱為$x-x_{0}$的冪級數。它的收斂與否和係數$a_{n}$有關。

傅里葉級數

主條目：傅里葉級數

任何周期函數都可以用正弦函數和餘弦函數構成的無窮級數來表示，稱為傅里葉級數。傅里葉級數是函數項無窮級數，也就是說每項都是一個函數。傅里葉級數在數論、組合數學、信號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有着廣泛的應用。

例如，周期為$2\pi$的周期函數$f(x)$可以表示為：

$f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx),n=1,2,3,\ldots$

其中，$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx$，$b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$，特別的，$a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)dx$

常數項無窮級數審斂法

主條目：審斂法

正項級數

若通項為實數的無窮級數$\sum u_{n}$每一項$u_{n}$都大於等於零，則稱$\sum u_{n}$是一正項級數。

如果無窮級數 $\sum u_{n}$ 是正項級數，則部分和$S_{n}$是一個單調遞增數列。由數列極限的判別準則：單調有界數列必有極限。因此，倘若部分和數列S_n有界，$\sum u_{n}$收斂，且$\lim _{n\to \infty }S_{n}=s$ ;反之，若部分和數列趨於正無窮，級數發散。

比較判別法

設$\sum u_{n}$ 和 $\sum v_{n}$是正項級數。

如果存在正實數$M$，使得從若干項開始，$u_{n}\leq Mv_{n}$（也就是說$u_{n}=O_{\infty }(v_{n})$），則

• 當$\sum v_{n}$ 收斂時，可推出 $\sum u_{n}$ 也收斂。
• 當$\sum u_{n}$ 發散時，可推出 $\sum v_{n}$ 也發散。

如果$\lim _{n\to \infty }{u_{n} \over v_{n}}=0$，則

• 當$\sum v_{n}$ 收斂時，可推出 $\sum u_{n}$ 也收斂。
• 當$\sum u_{n}$ 發散時，可推出 $\sum v_{n}$ 也發散。

如果$\lim _{n\to \infty }{u_{n} \over v_{n}}=1$或其它有限數，則$\sum v_{n}$ 和$\sum u_{n}$ 同時收斂或發散。

比如，我們已知級數：$\sum {1 \over n^{2}}$收斂，則級數：$\sum {|\sin n| \over n^{2}}$也收斂，因為對任意的$n$，$\sin n\leq 1$。

比較判別法的特點是要已知若干級數的斂散性。一般來說，我們可以選擇比較簡單的級數：$U_{p}=\sum {1 \over n^{p}}$作為「標準級數」，依此判斷其他函數的斂散性。需要知道的是當$p\leq 1$時，$U_{p}$發散，當$p>1$時，$U_{p}$收斂。

達朗貝爾判別法

主條目：達朗貝爾審斂法

在比較判別法中，如果取幾何級數為比較的標準級數，可得：

設$\sum u_{n}$是通項大於零的正項級數。並且$\lim _{n\to \infty }{u_{n+1} \over u_{n}}=p$，則

• 當$p<1$ 時，級數$\sum u_{n}$收斂。
• 當$p>1$ 時，級數$\sum u_{n}$發散。
• 當$p=1$ 時，級數$\sum u_{n}$可能收斂也可能發散。

這個判別法也稱為比值判別法或比值審斂法。

柯西收斂準則

主條目：根值審斂法

設 $\sum u_{n}$ 是正項級數。並且$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{u_{n}}}=p$，則

• 當$p<1$時，級數 $\sum u_{n}$ 收斂。
• 當$p>1$時，級數 $\sum u_{n}$ 發散。
• 當$p=1$時，級數 $\sum u_{n}$ 可能收斂也可能發散。

這個判別法也稱為根值判別法或根值審斂法'。

交錯級數

主條目：交錯級數判別法

具有以下形式的級數

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!$

其中所有的$a_{n}$非負，被稱作交錯級數。

萊布尼茨判別法

主條目：萊布尼茨審斂法

在上述的級數$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!$中，如果當$n$趨於無窮時, 數列$a_{n}$的極限存在且等於 0，並且每個$a_{n}$小於$a_{n-1}$（即, 數列$a_{n}$是單調遞減的），那麼級數收斂。

任意項級數

對於通項為任意實數的無窮級數$\sum u_{n}$，將級數$\sum |u_{n}|$稱為它的絕對值級數。可以證明，如果$\sum |u_{n}|$收斂，那麼 $\sum u_{n}$也收斂，這時稱 $\sum u_{n}$絕對收斂。如果$\sum u_{n}$收斂，但是$\sum |u_{n}|$發散，則稱$\sum u_{n}$條件收斂。比如說，級數$\sum {\sin n \over n^{2}}$絕對收斂，因為前面已經證明 $\sum {|\sin n| \over n^{2}}$收斂。而級數$\sum {(-1)^{n} \over n}$是條件收斂的。它自身收斂到$\ln {1 \over 2}$，但是它的絕對值級數$\sum {1 \over n}$是發散的。

黎曼級數定理說明，如果一個無窮級數$\sum u_{n}$條件收斂，那麼對於任意的實數$x$，存在一個正整數到正整數的雙射$\sigma$，使得級數$\sum u_{\sigma (n)}$收斂到 $x$。對於正負無窮大，上述雙射也存在。

函數項級數

設$(u_{n}(x))_{n\geq 0}$為定義在區間${\mathcal {I}}$上的函數列，則表達式：$u_{1}(x)+u_{2}(x)+\cdots +u_{n}(x)+\cdots$稱為函數項級數，簡記為$\sum u_{n}(x)$。對函數項級數的主要研究是：

1. 確定對哪些$x$，$\sum u_{n}(x)$收斂。
2. $\sum u_{n}(x)$收斂的話，其和是什麼，有什麼性質？

收斂域

對區間${\mathcal {I}}$上的每個 $x_{0}$，級數 $\sum u_{n}(x_{0})$是常數項級數。若 $\sum u_{n}(x_{0})$收斂，則稱$x_{0}$是$\sum u_{n}(x)$的一個收斂點，$\sum u_{n}(x)$全體收斂點的集合稱為它的收斂域。若 $\sum u_{n}(x_{0})$發散，則稱$x_{0}$是$\sum u_{n}(x)$的一個發散點，$\sum u_{n}(x)$全體發散點的集合稱為它的發散域。$\sum u_{n}(x)$在其收斂域的每一點上都有定義，因此定義了一個函數，稱為$\sum u_{n}(x)$的和函數，記為$S(x)$。按照定義，$S(x_{0})=\lim _{n\to \infty }S_{n}(x_{0})$，其中$S_{n}(x_{0})=u_{1}(x_{0})+u_{2}(x_{0})+\cdots +u_{n}(x_{0})$為函數項級數在$x_{0}$點上的部分和。

一致收斂

主條目：一致收斂

函數項級數的取值可以在它的收斂域上用和函數定義，但和函數的性質可能會和級數的每一項不同。比如說，當函數項級數$\sum u_{n}(x)$中的每一項$u_{n}(x)$在收斂域上都是連續函數時，和函數未必會是連續函數。以下是一個例子：

設$\displaystyle u_{n}(x)=x^{n}-x^{n+1}$，也就是說$\displaystyle u_{0}(x)=1-x$，$\displaystyle u_{1}(x)=x-x^{2}$等等，它們顯然都是連續函數（甚至是光滑函數）。這時函數項級數在$x$ 點上的部分和$S_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(x^{k}-x^{k+1})=1-x^{n+1}$。在區間$[0,1]$的每一點上，部分和都有極限：

當$x\neq 1$時，$S_{n}(x)\rightarrow 1$

當$\displaystyle x=1$時，$S_{n}(x)\rightarrow 0$

於是在區間$[0,1]$上，級數$\sum u_{n}(x)$ 收斂，其和函數$S(x)$為：

當$0\leq x<1$時，$S(x)=1$；$S(1)=0$。

這不是一個連續函數。

然而，如果函數項級數能夠滿足某些更嚴格的條件的話，可以證明級數的和函數的規則性將會等於每一項函數的規則性，這就是所謂的一致收斂性質。和函數列的一致收斂性質一樣，函數項級數$\sum u_{n}(x)$在某個區間${\mathcal {I}}$內（關於某個範數$\left\|\cdot \right\|$）一致收斂的定義是它的部分和函數$S_{n}$ 在區間${\mathcal {I}}$上一致收斂到和函數$S$，

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left\|S-S_{n}\right\|_{\mathcal {I}}=0$

或者寫成$\lim _{n\rightarrow \infty }\left\|\sum _{k=n}^{\infty }u_{k}\right\|_{\mathcal {I}}=0$

可以證明：

如果級數$\sum u_{n}(x)$ 在區間${\mathcal {I}}$ 內一致收斂，並且每個$u_{n}(x)$ 都是連續函數，那麼和函數$S$ 在區間${\mathcal {I}}$ 上也是連續函數。

進一步的，如果導函數級數的每一項都是${\mathcal {C}}^{p}$函數（$p$階連續可微函數），並且各階導函數級數$\sum u_{n}(x),\sum u_{n}^{(1)}(x),\sum u_{n}^{(2)}(x),\ldots ,\sum u_{n}^{(p)}(x)$在區間${\mathcal {I}}$內都一致收斂，那麼級數和函數$S(x)=\sum u_{n}(x)$ 也是${\mathcal {C}}^{p}$函數，並且：

$\forall 0\leq i\leq p$ ，$S^{(i)}(x)=\sum u_{n}^{(i)}(x)$。

絕對收斂

函數項級數也有絕對收斂的概念。對於某個給定的區間${\mathcal {I}}$和範數$\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {I}}$，函數項級數$\sum u_{n}(x)$在區間${\mathcal {I}}$內絕對收斂，若且唯若常數級數$\sum \left\|u_{n}\right\|_{\mathcal {I}}$收斂。

絕對收斂的（連續？）函數在每一點都收斂，並且在區間${\mathcal {I}}$內一致收斂。

冪級數

主條目：冪級數

形同$\sum a_{n}(x-x_{0})^{n}$的函數項無窮級數稱為$x-x_{0}$的冪級數。一般只需討論形同$\sum a_{n}x^{n}$的冪級數。

冪函數的收斂域

根據阿貝爾定理，它的收斂域是一個關於零對稱的區間，即為$(-R,R)$（可開可閉）的形式。這個正數$R$（可以是無窮大）叫做冪級數的收斂半徑。並有定理：

設冪級數$\sum a_{n}x^{n}$滿足$\lim _{n\to \infty }{a_{n+1} \over a_{n}}=\rho$，則：

• $\rho$是正實數時，$R={1 \over \rho }$。
• $\rho =0$時，$R=\infty$。
• $\rho =\infty$時，$R=0$。

冪級數的和函數

求解冪級數的和函數有時需要利用先對各項積分（或求導）以得到一個方便利用已有公式進行求和的形式，在求和後在對各項求導（或積分）。

漸進級數

漸進級數是用來對某些函數的間斷點附近的情況進行逼近的級數。漸進級數一般是發散的，它的部分和趨於無窮大，因此可以很好地逼近一個趨於無窮大的函數。但要注意的是，漸進級數提供的逼近是相對的，即只是比值趨於一致，與函數值之間的誤差並不像收斂的級數一樣趨於無窮小。一般來說，漸進級數在若干項後便達到最小的絕對誤差，之後的絕對誤差一般會增大甚至趨於無窮。

發散級數的和

主條目：發散級數

發散級數的部分和沒有極限，但是在應用中可以使用比較弱的級數和定義，比如切薩羅求和、阿貝爾求和以及歐拉求和。

推廣

級數的概念可以在任何的對稱拓撲群中定義，常用的是在一個巴拿赫空間（比如實數或複數空間）中。

參見

• 收斂
• 發散級數
• 函數級數
• 級數展開
• 求和變換
• 阿貝爾定理
• 黎曼級數定理
• 柯西-阿達馬公式

參考文獻

參考書目

• 同濟大學數學系. 高等数学 6. 高等教育出版社. 2007. ISBN 978-7-04-021277-8 （中文（中國大陸））. 
• 北京大學數學科學學院. 数学分析 2. 北京大學出版社 （中文（中國大陸））.