餘弦定理

餘弦定理是三角形中三邊長度與一個角的餘弦值（$\cos$）的數學式，參考右圖，餘弦定理指的是：

一個三角形

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

同樣，也可以將其改為：

$b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos \beta$

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha$

其中$c$是$\gamma$角的對邊，而$a$和$b$是$\gamma$角的鄰邊。

勾股定理則是餘弦定理的特殊情況，當$\gamma$為$90^{\circ }$時，$\cos \gamma =0$，等式可被簡化為

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

當知道三角形的兩邊和一角時，餘弦定理可被用來計算第三邊的長，或是當知道三邊的長度時，可用來求出任何一個角。

歷史

一個鈍三角形和它的高。

餘弦定理的歷史可追溯至公元三世紀前歐幾里得的幾何原本，在書中將三角形分為鈍角和銳角來解釋，這同時對應現代數學中餘弦值的正負。根據幾何原本第二卷的命題12和13，並參考右圖，以現代的數學式表示即為：

${\overline {AB}}^{2}={\overline {CA}}^{2}+{\overline {CB}}^{2}+2({\overline {CA}})({\overline {CH}})\,$

其中${\overline {CH}}={\overline {BC}}\cos(\pi -\gamma )=-{\overline {BC}}\cos \gamma$，將其帶入上式得到：

${\overline {AB}}^{2}={\overline {CA}}^{2}+{\overline {CB}}^{2}-2({\overline {CA}})({\overline {BC}})\cos \gamma$

證明

三角函數

具有垂直線的銳角三角形

見右圖，在$c$上做高可以得到（投影定理）：

$c=a\cos \beta +b\cos \alpha$

將等式同乘以c得到：

$c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha$

運用同樣的方式可以得到：

$a^{2}=ac\cos \beta +ab\cos \gamma$

$b^{2}=bc\cos \alpha +ab\cos \gamma$

將$c^{2}$的右式取代：

$c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha =(a^{2}-ab\cos \gamma )+(b^{2}-ab\cos \gamma )=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

勾股定理

勾股定理之一

設$\triangle ABC$中，${\overline {AB}}=c$，${\overline {BC}}=a$，${\overline {AC}}=b$。過$B$點作$AC$的垂線，垂足為$D$，如果$D$在$AC$內部，則$BD$的長度為$a\sin C$，$DC$的長度為$a\cos C$，$AD$的長度為$b-a\cos C$。根據勾股定理：

$c^{2}=(a\sin C)^{2}+(b-a\cos C)^{2}\,$

$c^{2}=a^{2}\sin ^{2}C+b^{2}-2ab\cos C+a^{2}\cos ^{2}C\,$

$c^{2}=a^{2}(\sin ^{2}C+\cos ^{2}C)+b^{2}-2ab\cos C\,$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\,$

如果$D$在$AC$的延長線上，證明是類似的。同理可以得到其他的等式。

勾股定理之二

證明所用的三角形

設$\triangle ABC$中，${\overline {AB}}=c$，${\overline {BC}}=a$，${\overline {AC}}=b$。過$B$點作${\overline {AC}}$的垂線，垂足為$D$，設${\overline {AD}}=x$，則${\overline {CD}}=b-x$，根據勾股定理：

$c^{2}-x^{2}={\overline {BD}}^{2}=a^{2}-(b-x)^{2}$

$c^{2}-x^{2}=a^{2}-b^{2}-x^{2}+2bx$

$c^{2}=a^{2}-b^{2}+2bx$

$x={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2b}}$

$\cos A={\frac {x}{c}}={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

如果$D$在${\overline {AC}}$的延長線上，證明是類似的。同理可以得到其他的等式。

應用

餘弦定理是解三角形中的一個重要定理。

求邊

餘弦定理可以簡單地變形成：

$a={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos A}}$

$b={\sqrt {c^{2}+a^{2}-2ac\cos B}}$

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}}$

因此，如果知道了三角形的兩邊及其夾角，可由餘弦定理得出已知角的對邊。

求角

餘弦定理可以簡單地變形成：

$\cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\,\!$

$\cos B={\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}\,\!$

$\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\,\!$

因為餘弦函數在$({{\rm {0}},\pi })$上的單調性，可以得到：

$\angle A=\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\,\!$

$\angle B=\arccos {\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}\,\!$

$\angle C=\arccos {\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\,\!$

因此，如果已知三角形的三邊，可以由餘弦定理得到三角形的三個內角。

參見

• 三角形
• 勾股定理
• 正弦定理
• 正切定理
• 角平分線長公式
• 中線長公式