八元數

四元数的一个非结合推广

八元數(英語:Octonion)是以實數構建的8維度賦範可除代數,為四元數非結合推廣的超複數,通常記為O。八元數的8個維度可以視為2個4維度之四元數的組合。八元數不具備結合律交換律,但具備交錯代數的特性,並保有冪結合性

八元數
符號
種類超複代數
單位形式:


形式:

1ijkliljlkl
乘法單位元1
主要性質非交換
非結合
常見的數字系統
  •  自然數
  •  整數
  •  有理數
  •  實數
  •  複數
  •  四元數
少見的數字系統

八元數 () 十六元數 () 三十二元數

各式各樣的
基本

延伸
其他

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無限大

也許是因為八元數的乘法不具備結合性,因此它們作為超複數而言受關注的程度較四元數低。儘管如此,八元數仍然與數學中的一些例外結構有關,其中包括例外李群。此外,八元數在諸如弦理論狹義相對論量子邏輯英語Quantum logic中也有應用。

歷史 編輯

八元數第一次被描述於1843年,於一封約翰·格雷夫斯英語John T. Graves威廉·盧雲·哈密頓的信中。格雷夫斯稱其為「octaves」。[1]:168後來八元數由阿瑟·凱萊在1845年獨自發表。[2]格雷夫斯發表結果的時間點比阿瑟·凱萊發表的時間稍晚一些[3]。阿瑟·凱萊發表的八元數和約翰·格雷夫斯給威廉·盧雲·哈密頓的信中所提及的並無關係。阿瑟·凱萊是獨自發現八元數的,[2]因此八元數又被稱為凱萊數凱萊代數。哈密頓則描述了八元數被發現並描述的早期歷史。[4]

定義 編輯

八元數可以視為實數的八元組。八元數有多種構造方式。以凱萊-迪克森結構為例,八元數可以表達為2個四元數PQ的組合,即 P+Q l  ,其中,量l為其中一個八元數單位並滿足:[5]

 

在這種定義下每一個八元數都是單位八元數{1, i, j, k, l, il, jl, kl}線性組合。也就是說,每一個八元數x都可以寫成[6]

 

其中係數xa是實數。 這些八元數單位亦滿足:[5]

 

八元數的加法是把對應的係數相加,就像複數四元數一樣。根據線性,八元數的乘法完全由以下單位八元數的乘法表來決定。[6]

                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 

一些不同的定義方式會將八元數的單位元素表達為ea的線性組合,其中 a=0, 1,..., 7 [7]

 

當中的 為實數單位。每個八元數單位元素皆不相等,而其平方為實數。也就是說,每個八元數 x 都可以寫成以下形式[8]

 [9]:5

其中xi為單位元素ei的系數,且必為實數。八元數的加法和減法是通過加減相應的項以及它們的系數來完成的,與四元數的加減法類似。 乘法則較為複雜。 八元數的乘法是對加法的分配,所以兩個八元數的乘積可以通過對所有項的乘積求和來計算,再次如同四元數一般。 每對項的乘積可以通過系數的乘積和單位八元數的乘法表給出[7],其乘法表的結構與{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的模式( )類似。這個乘法表先後由Graves於1843年和Cayley於1845年描述:[10]

 [11]  
               
                   
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 

除了主對角線上以及 作為操作數的行和列的元素之外,乘法表中的大多數非對角元素都是反對稱的,這使得這個乘法表幾乎是一個斜對稱矩陣。

該表可總結如下:[12]

 

其中δij克羅內克δ函數(當且僅當i = j時為1)、 εijk完全反對稱張量英語completely antisymmetric tensor,且當ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365時,值為1。[9]

然而,上述定義並不是唯一的。這些定義只是 八元數乘法的480個可能定義之一。其他的八元數乘法定義可以透過置換和改變非標量基元素 的符號來獲得。[13]這480個不同乘法定義對應的代數結構是同構的,很少需要考慮使用哪個特定的乘法規則。

這480個八元數乘法定義中,每一定義的正負號在7循環(1234567)下的特定點上都是不變的,並且對於每個7循環有四個定義,它們的區別在於正負號和順序的反轉。 一個常見的選擇是使用 e1e2 = e4的7循環(1234567)下的定義不變量 — 通過使用三角乘法圖或下面的 法諾平面,該平面還顯示了基於124的7循環三元組及其相關乘法的排序列表en 格式的矩陣。[14]

 

此外,亦有一些文獻會將八元數的單位定義為 [15]

凱萊-迪克松構造 編輯

一個更加系統的定義八元數的方法,是通過凱萊-迪克松構造。就像四元數可以用一對複數來定義一樣,八元數可以用一對四元數來定義。兩對四元數  的乘積定義為:[8]:153

 

其中 表示四元數 的共軛。這個定義與上面給出的定義是等價的。[16]

法諾平面記憶 編輯

 
八元數的乘積的簡單記憶。

一個用來記憶八元數的乘積的方便辦法,由右面的圖給出。這個圖中有七個點和七條直線(經過ijk的圓也視為一條直線),稱為法諾平面英語Fano plane[17]這些直線是有向的。七個點對應於Im( )的七個標準基元素。每一對不同的點位於唯一的一條直線上,而每一條直線正好通過三個點。[18]

(a, b, c)為位於一條給定的直線上的三個有序點,其順序由箭頭的方向指定。那麼,乘法由下式給出:[18]

ab = cba = −c

以及它們的循環置換英語Cyclic permutation。這些規則[18]

  • 1是乘法單位元,
  • 對於圖中的每一個點,都有 

完全定義了八元數的乘法結構。七條直線的每一條都生成了 的一個子代數,與四元數 同構。[8]:151-152

共軛、範數和逆元素 編輯

八元數

 

的共軛為:

 

當中除了實數項外,其餘項正負號皆相反。因此若將八元數單位表達為{e1, e2 ... e7},則八元數的共軛可以簡化表示為:[9]:6

 

共軛是 的一個對合,滿足 (注意次序的變化)。[16]

x的實數部分定義為 ,虛數部分定義為 [16]所有純虛的八元數生成了 的一個七維子空間,記為Im( )[8]:186

八元數x範數可用與自身共軛的積 來定義[16]

 

在這裏,平方根是定義良好的,因為 總是非負實數:[註 1]

 

這個範數與 上的標準歐幾里得範數是一致的。

 上範數的存在,意味着 的所有非零元素都存在逆元素x ≠ 0的逆元素為:[16][9]:6

 

它滿足 

性質 編輯

八元數的乘法既不是交換的:[9]:6

 

也不是結合的:[5]:41

 

然而,八元數確實滿足結合性的一個較弱形式──交錯性[9]:2。這就是說,由任何兩個元素所生成的子代數英語Subalgebra是結合的。[9]:3實際上,我們可以證明,由 的任何兩個元素所生成的子代數都與   同構,它們都是結合的。由於八元數不滿足結合性,因此它們沒有矩陣的表示法,與四元數不一樣。[9]

八元數確實保留了   共同擁有的一個重要的性質: 上的範數滿足

 

這意味着八元數形成了一個非結合的賦範可除代數。所有由凱萊-迪克松構造所定義的更高維代數都不滿足這個性質,因為它們都存在零因子[19]

這樣,實數域上唯一的賦範可除代數是    。這四個代數也形成了實數域上唯一的交錯的、有限維的可除代數英語Division algebra[8]:155

由於八元數不是結合的,因此 的非零元素不形成一個群。然而,它們形成一個擬群

自同構 編輯

八元數的自同構A,是 的可逆線性變換,滿足:

 

 的所有自同構的集合組成了一個,稱為G2英語G2 (mathematics)[21][9]G2是一個單連通緊緻、14維的實李群[22]這個群是例外李群英語w:Exceptional Lie group#Exceptional cases中最小的一個。[23]

參見 編輯

註釋 編輯

  1. ^ 在範數可良好定義的前提下, ,且 [16],因此可以得到 總是非負實數的結論。

參考文獻 編輯

  1. ^ Sabadini, I. and Shapiro, M. and Sommen, F. Hypercomplex Analysis. Trends in Mathematics. Birkhäuser Basel. 2009 [2022-04-27]. ISBN 9783764398934. LCCN 2008942605. (原始內容存檔於2021-10-26). 
  2. ^ 2.0 2.1 Cayley, Arthur, On Jacobi's elliptic functions, in reply to the Rev.; and on quaternions, Philosophical Magazine英語Philosophical Magazine, 1845, 26: 208–211 [2022-04-22], doi:10.1080/14786444508645107, (原始內容存檔於2022-04-22) . Appendix reprinted in The Collected Mathematical Papers, Johnson Reprint Co., New York, 1963, p. 127
  3. ^ Graves, On a Connection between the General Theory of Normal Couples and the Theory of Complete Quadratic Functions of Two Variables, Phil. Mag., 1845, 26: 315–320 [2022-04-22], doi:10.1080/14786444508645136, (原始內容存檔於2015-04-04) 
  4. ^ Hamilton, Note, by Sir W. R. Hamilton, respecting the researches of John T. Graves, Esq., Transactions of the Royal Irish Academy, 1848, 21: 338–341 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 S. V. Ludkovsky. Meta-Invariant Operators over Cayley-Dickson Algebras and Spectra. Advances in Pure Mathematics. 2013, 03 (01): 41–69 [2022-04-22]. ISSN 2160-0368. doi:10.4236/apm.2013.31008. (原始內容存檔於2022-04-27). 
  6. ^ 6.0 6.1 State Enterprise National Power Company 「UkrEnergo」, S.I. Klipkov. Some Features of the Matrix Representations of the Octonions. Èlektronnoe modelirovanie. 2019-08-08, 41 (4): 19–34 [2022-04-22]. doi:10.15407/emodel.41.04.019. (原始內容存檔於2022-04-22). 
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  16. ^ 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 Baez, John C. The Octonions.[8] p. 154
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延伸閱讀 編輯