同倫（英語：Homotopic[註 1]）在數學和拓撲學上描述了兩個對象間的「連續變化」。兩個定義在拓撲空間之間的連續函數，如果其中一個能「連續地形變」為另一個，則這兩個函數稱為同倫的。這樣的形變稱為兩個函數之間的同倫。同倫的一個重要的應用是同倫群和餘倫群的定義，它們是代數拓撲中重要的不變量。
圖中的兩條虛線相對於它們的端點是同倫的。動畫表示了一種可能的同倫。
事實上，在特定的空間中應用同倫還有一些技術上的困難。代數拓撲學家一般使用緊生成空間、CW複形或譜。
兩個將環面映射到R3的嵌入之間的同倫：「咖啡杯的表面」與「甜甜圈的表面」。這也是一個同痕的例子。
給定兩個拓撲空間 
和 
。考慮兩個連續函數 
，若存在一個定義在空間 X 與單位區間 [0,1] 的積空間上的連續映射 ![{\displaystyle H\,:\,X\times [0,1]\rightarrow Y\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c6eaaf371098cbea149a9d014a7a5d97bf51ac9)
使得：
則稱
是 
之間的一個同倫[1]:183。
如果我們將 H 的第二個參數當作時間，這樣 H 相當於描述了一個從 f 到 g 的連續形變：0 時刻我們得到函數f，1 時刻我們得到函數 g。
我們也可以將第二個參數視作一個可以滑動的「控制條」，當控制條從0滑動至1時，函數 f 平滑地轉變為函數 g，反之亦然。
另一種觀點是：對每個
，函數 
定義一條連接 
與 
的路徑：
![{\displaystyle \gamma _{x}\,:\,[0,1]\rightarrow Y,\,t\mapsto H(x,t)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10933c953a20a4add485e31d5622ad201928e017)
右側的循環動畫展示了兩個嵌入R3中的環面之間的同倫。X 是環面，Y 是 R3。f，g 是從環面到
R3的連續函數，當動畫開始時，f 把環面映射為嵌入的甜甜圈的表面。g 把環面映射為嵌入的咖啡杯表面。動畫展示了ht(x)作為時間的函數時的圖像。每一次循環中，時間 t 從 0 變成 1，暫停一會，又從 1 變成 0。
當且僅當存在同倫 H 將 f 轉換為 g時，稱連續函數 f 和 g 是同倫的。同倫是 X 到 Y 上所有的連續函數之間的一種等價關係[1]:184。以下情形中，同倫關係滿足函數的複合：
如果 f1, g1 : X → Y 是同倫的，並且 f2, g2 : Y → Z 是同倫的，則他們的複合 f2 ∘ f1 與 g2 ∘ g1 : X → Z 也是同倫的。
例一：取 
, 
, 
及 
。則
與 
透過下述函數在 中同倫。
- （注意到此例子不依賴於變數
，通常並非如此。）
- 註：「在
中同倫」的說法提示一個重點：在例一中若將 代為子空間
，則雖然 與 仍取值在
，但此時它們並不同倫。此點可藉中間值定理驗證。
例二：取![{\displaystyle X=[0,1]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c2f82953ec31abffd4534cf62f2a095afa901c0)
,
,
及 
。則 描繪一個以原點為圓心的單位圓； 停在原點。 與 透過下述連續函數同倫：
- 幾何上來看，對每個值
，函數
描繪一個以原點為圓心，半徑 
的圓。
相對同倫
編輯
為定義高階基本群，必須考慮相對於一個子空間的同倫概念。這是指能在不變動該子空間的狀況下連續變化，正式定義是：設
是連續函數，固定子空間 
；若存在前述同倫映射 ![{\displaystyle H:X\times [0,1]\rightarrow Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/831ca2cdbab407ef356b8c3b1ea0a39d6f1965fd)
，滿足：
則稱 
相對於 
同倫。若取 
，則回到原先的同倫定義。
空間的同倫等價
編輯
給定兩個拓撲空間
與 
，我們稱之同倫等價（或稱具相同倫型），當且僅當存在兩個連續映射
與
，使得：
同倫到 的恆等映射 
。
同倫到 的恆等映射 
。
同胚蘊含同倫，反之則不然，詳見以下例子：
例三：
- 一個平面上的圓或橢圓同倫等價到
，即去掉一點的平面。
- 線段
![{\displaystyle [a,b]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08268f073d76e500a09a309a45bcc9f19e599db4)
、閉圓盤及閉球間兩兩同倫等價，它們皆同倫等價於一個點。
同倫等價是個拓撲空間之間的等價關係。許多代數拓撲學裏的性質均在同倫等價下不變，包括有：單連通、同調群及上同調群等等。
同痕（Isotopy）是同倫的加細版；我們進一步要求所論的函數
和 
是嵌入，並要求兩者間可用一族嵌入映射相連。
定義如此： 與 被稱為同痕的，當且僅當存在連續映射 使之滿足：
-
-
- 對所有
![{\displaystyle t\in [0,1]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181fb92391d7ecbc8467b084d915c2877e36af52)
，映射 是個嵌入映射。
同痕的概念在紐結理論中格外重要：若兩個結同痕，則我們視之相等；換言之，可以在不使結扯斷或相交的條件下彼此連續地變形。
