拉馬努金求和 （英語：Ramanujan summation ）是由數學家斯里尼瓦瑟·拉馬努金 所發明的數學技巧，指派一特定值予無限發散級數 。儘管拉馬努金求和不是傳統的和 的概念，其在探討發散級數上極有用處；因為在此情形下，傳統的求和方式是無法定義的。拉馬努金求和的成果可用在複分析 、量子力學 及弦理論 等領域。
拉馬努金求和法本質上是部分和 的性質，而非整個數列 的級數和 性質，後者在此情形通常是無法定義的。若我們同時採用歐拉-麥克勞林求和公式 以及伯努利數 的修正規則，可得：
1
2
f
(
0
)
+
f
(
1
)
+
⋯
+
f
(
n
−
1
)
+
1
2
f
(
n
)
=
1
2
[
f
(
0
)
+
f
(
n
)
]
+
∑
k
=
1
n
−
1
f
(
k
)
=
∫
0
n
f
(
x
)
d
x
+
∑
k
=
1
p
B
k
+
1
(
k
+
1
)
!
[
f
(
k
)
(
n
)
−
f
(
k
)
(
0
)
]
+
R
p
{\displaystyle {\begin{aligned}{}&{\frac {1}{2}}f\left(0\right)+f\left(1\right)+\cdots +f\left(n-1\right)+{\frac {1}{2}}f\left(n\right)\\=&{\frac {1}{2}}\left[f\left(0\right)+f\left(n\right)\right]+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(k\right)\\=&\int _{0}^{n}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k+1}}{(k+1)!}}\left[f^{(k)}(n)-f^{(k)}(0)\right]+R_{p}\end{aligned}}}
拉馬努金寫道：[1] p 趨近於無限大，
∑
k
=
1
x
f
(
k
)
=
C
+
∫
0
x
f
(
t
)
d
t
+
1
2
f
(
x
)
+
∑
k
=
1
∞
B
2
k
(
2
k
)
!
f
(
2
k
−
1
)
(
x
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{x}f(k)=C+\int _{0}^{x}f(t)\,dt+{\frac {1}{2}}f(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(x)}
其中C 是此級數的特定常數，然而拉馬努金並未指定其解析延拓 以及積分的上下限。將兩式作比較，並假設R 趨近於0，而x 趨近於無限大；當一函數 f (x ) 在x = 0不發散：
C
(
a
)
=
∫
0
a
f
(
t
)
d
t
−
1
2
f
(
0
)
−
∑
k
=
1
∞
B
2
k
(
2
k
)
!
f
(
2
k
−
1
)
(
0
)
{\displaystyle C(a)=\int _{0}^{a}f(t)\,dt-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0)}
其中拉馬努金假設
a
=
0
{\displaystyle \scriptstyle a\,=\,0}
a
=
∞
{\displaystyle \scriptstyle a\,=\,\infty }
f (x ) 在x = 1不發散，可得：
C
(
a
)
=
∫
1
a
f
(
t
)
d
t
+
1
2
f
(
1
)
−
∑
k
=
1
∞
B
2
k
(
2
k
)
!
f
(
2
k
−
1
)
(
1
)
{\displaystyle C(a)=\int _{1}^{a}f(t)\,dt+{\frac {1}{2}}f(1)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(1)}
C (0)因此被提議用作發散數列的和。在此建立了求和與積分之間的橋樑。
發散級數的和
編輯
下文中，
(
ℜ
)
{\displaystyle \scriptstyle (\Re )}
舉例來說，1 - 1 + 1 - 1 + ⋯
(
ℜ
)
{\displaystyle \scriptstyle (\Re )}
1
−
1
+
1
−
1
+
⋯
=
1
2
(
ℜ
)
{\displaystyle 1-1+1-1+\cdots ={\frac {1}{2}}\ (\Re )}
拉馬努金計算了一些知名發散級數的「和」。注意到拉馬努金和並非一般級數和的概念[2] [3] 部分和 不會收斂到
(
ℜ
)
{\displaystyle \scriptstyle (\Re )}
又如1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
(
ℜ
)
{\displaystyle \scriptstyle (\Re )}
1
+
2
+
3
+
4
+
⋯
=
−
1
12
(
ℜ
)
{\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}\ (\Re )}
延伸至正偶數冪，可得：
1
+
2
2
k
+
3
2
k
+
⋯
=
0
(
ℜ
)
{\displaystyle 1+2^{2k}+3^{2k}+\cdots =0\ (\Re )}
而奇數冪的結果則與伯努利數 有關：
1
+
2
2
k
−
1
+
3
2
k
−
1
+
⋯
=
−
B
2
k
2
k
(
ℜ
)
{\displaystyle 1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+\cdots =-{\frac {B_{2k}}{2k}}\ (\Re )}
目前有提議採用C (1)取代C (0)作為拉馬努金求和的結果，以其可保證一個級數
∑
k
=
1
∞
f
(
k
)
{\displaystyle \scriptstyle \sum _{k=1}^{\infty }f(k)}
[4]
如此拉馬努金求和的定義（標作
∑
n
≥
1
ℜ
f
(
n
)
{\displaystyle \scriptstyle \sum _{n\geq 1}^{\Re }f(n)}
C (0)不相同，也與收斂級數求和的結果不相同；但其帶有有趣的性質：若R (x )趨近於一個有限值極限，當x → +1，則此級數
∑
n
≥
1
ℜ
f
(
n
)
{\displaystyle \scriptstyle \sum _{n\geq 1}^{\Re }f(n)}
∑
n
≥
1
ℜ
f
(
n
)
=
lim
N
→
∞
[
∑
n
=
1
N
f
(
n
)
−
∫
1
N
f
(
t
)
d
t
]
{\displaystyle \sum _{n\geq 1}^{\Re }f(n)=\lim _{N\to \infty }\left[\sum _{n=1}^{N}f(n)-\int _{1}^{N}f(t)\,dt\right]}
特別是如下例子：
∑
n
≥
1
ℜ
1
n
=
γ
{\displaystyle \sum _{n\geq 1}^{\Re }{\frac {1}{n}}=\gamma }
其中γ 是歐拉-馬斯刻若尼常數 。
拉馬努金求和可以延伸至積分：舉例來說，運用歐拉-麥克勞林求和公式 可寫出
∫
a
∞
x
m
−
s
d
x
=
m
−
s
2
∫
a
∞
x
m
−
1
−
s
d
x
+
ζ
(
s
−
m
)
−
∑
i
=
1
a
i
m
−
s
+
a
m
−
s
−
∑
r
=
1
∞
B
2
r
Γ
(
m
−
s
+
1
)
(
2
r
)
!
Γ
(
m
−
2
r
+
2
−
s
)
(
m
−
2
r
+
1
−
s
)
∫
a
∞
x
m
−
2
r
−
s
d
x
{\displaystyle {\begin{array}{l}\int \nolimits _{a}^{\infty }x^{m-s}dx={\frac {m-s}{2}}\int \nolimits _{a}^{\infty }x^{m-1-s}dx+\zeta (s-m)-\sum \limits _{i=1}^{a}i^{m-s}+a^{m-s}\\-\sum \limits _{r=1}^{\infty }{\frac {B_{2r}\Gamma (m-s+1)}{(2r)!\Gamma (m-2r+2-s)}}(m-2r+1-s)\int \nolimits _{a}^{\infty }x^{m-2r-s}dx\end{array}}}
此為ζ函數正規化演算積分的自然延伸。
迭代方程式為有限的，因為當
m
−
2
r
<
−
1
{\displaystyle m-2r<-1}
∫
a
∞
d
x
x
m
−
2
r
=
−
a
m
−
2
r
+
1
m
−
2
r
+
1
{\displaystyle \qquad \int _{a}^{\infty }dxx^{m-2r}=-{\frac {a^{m-2r+1}}{m-2r+1}}}
其中
I
(
n
,
Λ
)
=
∫
0
Λ
d
x
x
n
{\displaystyle I(n,\,\Lambda )\,=\,\int _{0}^{\Lambda }dxx^{n}}
黎曼ζ函數正規化 要是
Λ
→
∞
{\displaystyle \Lambda \rightarrow \infty }
量子場論 的重整化 方法，得到有限值的結果。
相關條目
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參考文獻
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^ Bruce C. Berndt, Ramanujan's Notebooks 互聯網檔案館 的存檔 ，存檔日期2006-10-12., Ramanujan's Theory of Divergent Series , Chapter 6, Springer-Verlag (ed.), (1939), pp. 133-149.
^ The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation . [20 January 2014] . （原始內容存檔 於2017-06-06）. ^ Infinite series are weird . [20 January 2014] . （原始內容存檔 於2020-11-08）. ^ Éric Delabaere, Ramanujan's Summation （頁面存檔備份 ，存於互聯網檔案館 ）, Algorithms Seminar 2001–2002 , F. Chyzak (ed.), INRIA, (2003), pp. 83–88.
![{\displaystyle {\begin{aligned}{}&{\frac {1}{2}}f\left(0\right)+f\left(1\right)+\cdots +f\left(n-1\right)+{\frac {1}{2}}f\left(n\right)\\=&{\frac {1}{2}}\left[f\left(0\right)+f\left(n\right)\right]+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(k\right)\\=&\int _{0}^{n}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k+1}}{(k+1)!}}\left[f^{(k)}(n)-f^{(k)}(0)\right]+R_{p}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829db6259d5defea1c87bfc8f76689be8a104307)
![{\displaystyle \sum _{n\geq 1}^{\Re }f(n)=\lim _{N\to \infty }\left[\sum _{n=1}^{N}f(n)-\int _{1}^{N}f(t)\,dt\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6b3b23c1fc27caac62df46892583848a345b040)
