菲涅耳積分,常被寫作 S(x)和C(x)。以奧古斯丁·菲涅耳為名。

S(x)C(x)

定義 編輯

菲涅耳積分可由下面兩個級數求得,對所有x均收斂

 
 

羊角螺線 編輯

估計值 編輯

 
用來計算Fresnel integrals的扇形路徑

CS的值當變數趨近於無窮大時,可用複變分析的方法求得。用以下這個函數的路徑積分

 

在複數平面上的一個扇型的邊界,其中下邊繞着正x軸,上半邊是沿着y = x, x ≥ 0的路徑,外圈則是一個半徑為R,中心在原點的弧形。

R趨近於無窮大時,路徑積分沿弧形的部分將趨近於零[1],而實數軸部分的積分將可由高斯積分

 

並且經過簡單的計算後,第一象限平分線的那條積分便可以變成菲涅耳積分。

 
 

相關公式 編輯

下列一些包含菲涅耳積分的關係式[2]

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關聯條目 編輯

參考資料 編輯

  1. ^ Beatty, Thomas. How to evaluate Fresnel Integrals (PDF). FGCU MATH - SUMMER 2013. [27 July 2013]. (原始內容存檔 (PDF)於2015-02-07). 
  2. ^ Abromowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions,p303-305, 1972 Natinal Bureau of Standards