乘法

在数学中，乘法（英语：multiplication）是加法的连续运算，同一数的若干次连加，其运算结果称为积（英语：product）。

3×4 = 12

$\underbrace {a+a+a+\cdots +a} _{n}=a\times n$

须注意的是，华人地区有将四则运算的被运算数和运算数统一位置，所以被乘数放前面，乘数放后面。念作“a 乘以 n”或“n 乘 a”。 但在其它语言（如英文）中，有可能乘数是放在前的，写作 $n\times a$ ，念作“n times a”。

表示法

乘法可以用几种方法表示。以下的式子表示“五乘以二”：

• $5\times 2$
• $5\cdot 2$
• $5*2$
• $(5)(2)$

古代常用的方法是将两个数并排，没有什么特别的符号来表示乘法。

以“$\times$”表示乘法是威廉·奥特雷德最先使用，分别于一篇现时相信是于1618年他写的附录，和约于1628年写作的、1631年出版的书《数学之钥》（Clavis Mathematicae）内出现。以“$\times$”表示乘法是现在最流行的写法。在电脑文书中，也有为方便键盘输入而以小写英文字母“x”替代“×”。

以“$\cdot$”表示乘法现在用于德国和法国等国家，最早由托马斯·哈里奥特在1631年出版的著作使用，但对这个用法较有影响力的人是莱布尼兹。

因为星号“$*$”是键盘必备的符号，电脑常用星号表示乘号，第一次在电脑使用这个用法的是FORTRAN（福传）编程语言，事实上可以追溯到更早——1659年，Johann Rahn（1622年－1676年）在Teutsche Algebra一书中首次使用；但笔算时很少使用星号。

代数中，乘号经常省略掉，形式如$5x$和$xy$。若变量多于一个字母，容易使人混淆。这种表示法不会用于只有数字时，即$5\times 2$不会表示成$52$。

乘积可以用大写希腊字母Π（Pi，$\Pi$）来表示：

$\prod _{i=m}^{n}x_{i}:=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \ldots \cdot x_{n-1}\cdot x_{n}$

定义

两个整数的积是：

$mn=\sum _{k=1}^{n}m$

这是“将m加到自己n次”的简化说法。更清晰来说：

$mn=\underbrace {m+m+m+\cdots +m} _{n}$

使用上面的定义，我们很易找到一些乘法的性质：

• 交换律：$xy=yx$
• 结合律：$(xy)z=x(yz)$
• 分配律：$x(y+z)=xy+xz$

将任何数乘以一都会等于该数本身，即$1x=x$，称为单位律。

将任何数乘以零，即是什么也没做过，结果就是零，即$0x=0$。

当$x$是量，$y$是自然数，乘法的递归定义：

$0x=0$

$xy=x+x(y-1)$

历史

孙子筹算乘法

印度的格子乘法

最早最详细的关于十进位制乘法的规则，首见公元400年左右孙子算经。孙子乘法在9世纪经花拉子米介绍而流行于阿拉伯国家，13世纪被翻译成拉丁文而流行西方。

印度的格子乘法在唐代流入中国，在9世纪初经花拉子米介绍到阿拉伯，但都未能流行。

计算

• 电脑有特别的算法来处理大数之间的相乘，见乘法算法。
• 华人小学生通常要背诵九九乘法表来学习乘法。
• 史丰收速算法提出了用“本个 +后进”的方式来计算乘法。
• 尺规作图作乘法的方法：给定长为$1$的线，以及两条线$AB$和$AC$，求长度为该两条的线长度的积的线。解法：设该两条线分别为$AB$和$AC$，$AB$垂直$AC$于$A$。在$AB$上画出点$D$使$DA=1$，连$D$、$C$为$DC$。画一条通过$B$、平行$DC$的线，延长$AC$，此两条线的交于$E$，$EA$即为所求之线。