位力定理

位力定理（英语：Virial theorem，又称维里定理、均功定理）是力学中描述稳定的多自由度孤立体系的总动能和总势能时间平均之间的数学关系。考虑一个有N个质点的体系，其数学表达式为：

$\langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\langle {\boldsymbol {F}}_{k}\cdot {\boldsymbol {r}}_{k}\rangle$

其中：角括号表示对时间取平均，$T$是系统内部的总动能，${\boldsymbol {F}}_{k}$是第k个质点所受的力，${\boldsymbol {r}}_{k}$是第k个质点的位置向量；等式右边称作均位力积（英语：virial，简称位力），反映体系内相互作用强度。英语virial一词由德国物理学家鲁道夫·克劳修斯于1870年根据拉丁语单词vīs（意为力、能量）命名。

特别地，若系统内任何粒子两两之间的力来自与粒子间距离$r$的$n$次幂成正比的势能$V(r)=\alpha r^{n}$（其中$\alpha ,n$为常数），则定理简化为：

$2\langle T\rangle =n\langle V_{\text{Total}}\rangle$

即：体系的总动能2倍等于总势能的n倍。对于引力势能，这里的$n=-1$。

位力定理的一个意义在于，它允许计算平均总动能，即便是对于那些无法精确解的非常复杂的系统，例如在统计力学中考虑的那些；根据能量均分定理，该平均总动能与系统温度有关。然而，维里定理不依赖于温度的概念，甚至适用于不处于热平衡的系统。维里定理已以各种方式推广，特别是张量形式。

命题推导

简单例子

考虑N = 2个质量相同的质点构成的孤立体系，它们受万有引力相互作用。假设两个质点分别以v₁(t)和v₂(t) = −v₁(t)的速度（大小均为v，方向相反）围绕共同质心做匀速圆周运动，半径为r，两者分别受到作用力F₁(t)和F₂(t) = −F₁(t)（大小均为F，方向相反）。则体系的时间平均縂动能为：

$\langle T\rangle =\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{2}}m_{k}\left|\mathbf {v} _{k}\right|^{2}={\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _{1}|^{2}+{\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _{2}|^{2}=mv^{2}$

以共同质心为原点，两者的位置向量分别为r₁(t)及r₂(t) = −r₁(t)（大小均为常数r）。引力方向朝向原点，与位置向量方向相反，故F₁(t) ⋅ r₁(t) = F₂(t) ⋅ r₂(t) = −Fr。又，向心力大小等于万有引力大小：F = mv²/r。代入得：

$-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}{\bigl \langle }\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}{\bigr \rangle }=-{\frac {1}{2}}(-Fr-Fr)=Fr={\frac {mv^{2}}{r}}\cdot r=mv^{2}=\langle T\rangle$

一般推导

预先知识

对于 Virial theorem 的推导, 将需要用到齐次函数的如下性质, 既当 $f({\vec {x}})$ 为 $k$ 次 齐次函数时, 有:

${\frac {df(\alpha {\vec {x}})}{d(\alpha {\vec {x}})}}\cdot {\vec {x}}={\frac {\partial }{\partial {\alpha }}}[f(\alpha {\vec {x}})]={\frac {\partial [\alpha ^{k}f({\vec {x}})]}{\partial \alpha }}=k\alpha ^{k-1}f({\vec {x}})$

对于$a=1$时有:

${\vec {x}}{\vec {\nabla }}f({\vec {x}})=kf({\vec {x}})$

具体推导

注意到动能$T$是一个关于速度${\vec {v}}$的2次齐次函数:

${\vec {v}}\cdot {\frac {\partial T}{\partial {\vec {v}}}}=2T$ , 同时有 ${\frac {\partial {T}}{\partial {\vec {v}}}}={\vec {p}}$, 从而得到

$\ 2T={\vec {v}}\cdot {\vec {p}}={\frac {d}{dt}}({\vec {p}}\cdot {\vec {x}})-{\dot {\vec {p}}}\cdot {\vec {x}}$

计算上式对于时间$\Delta t$的平均:

$<2T>_{\Delta t}={\frac {1}{\Delta t}}\int _{0}^{\Delta t}(...){\text{( 等 式 右 邊 )}}\ dt$

我们关注$\Delta t\rightarrow \infty$ 的情况, 假设系统的运动是有限的 ($({\vec {p}}\cdot {\vec {x}})$不会有$\infty$出现的情况), 此时等式右边的前半部分将趋近于$0$:

$lim_{\Delta t\rightarrow \infty }{\frac {1}{\Delta t}}\int _{0}^{\Delta t}{\frac {d}{dt}}({\vec {p}}\cdot {\vec {x}})dt=lim_{\Delta t\rightarrow \infty }{\frac {({\vec {p}}\cdot {\vec {x}})|_{(\Delta t)}-({\vec {p}}\cdot {\vec {x}})|_{(0)}}{\Delta t}}\rightarrow 0$

我们得到:

$2<T>_{t}=-<{\dot {\vec {p}}}\cdot {\vec {x}}>_{t}$

${\dot {\vec {p}}}$可以通过系统的势能 $V({\vec {x}})$ 写出: ${\dot {\vec {p}}}=-{\vec {\nabla }}V({\vec {x}})$; 另外我们最终假设势能 $V({\vec {x}})$ 为,$k$次齐次函数, 并利用预先知识中$a=1$时的等式 就能够得到位力定理:

$2<T>_{t}=-<{\dot {\vec {p}}}\cdot {\vec {x}}>_{t}=<{\vec {x}}\cdot {\vec {\nabla }}V({\vec {x}})>_{t}=k<V({\vec {x}})>_{t}$

一般化

各学科中的应用

统计物理

在统计物理中，有求一般热力学系宗宏观压强张量的位力展开：

$\mathbf {p} ={\frac {2}{V}}\left({\frac {1}{2}}\left\langle \sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {v} _{i}\otimes \mathbf {v} _{i}\right\rangle +{\frac {1}{2}}\left\langle \sum _{i<j}{\boldsymbol {r}}_{ij}\otimes {\boldsymbol {F}}_{ij}\right\rangle \right)$

亦即体系压强为（与动能相关的）动理压强和（与相互作用相关的）内压强之和。上式中的第二项即为均位力积相关项。