整数

整数，在电脑应用上也称为整型，是序列$\{\ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}$中所有的数的统称，包括负整数、零（0）与正整数。和自然数一样，整数也是一个可数的无限集合。这个集合在数学上通常表示粗体$Z$或$\mathbb {Z}$，源于德语单词Zahlen（意为“数”）的首字母。

在代数数论中，这些属于有理数的一般整数会被称为有理整数，用以和高斯整数等的概念加以区分。

正整数与负整数

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整数是一个集合，通常可以分为正整数、零（0）和负整数。正整数（符号：Z⁺或$\mathbb {Z} ^{+}$）即大于0的整数，是正数与整数的交集。而负整数（符号：$Z^{-}$或$\mathbb {Z} ^{-}$）即小于0的整数，是负数与整数的交集。和整数一样，两者都是可数的无限集合。除正整数和负整数外，通常将0与正整数统称为非负整数（符号：Z⁺₀或$\mathbb {Z} _{0}^{+}$），而将0与负整数统称为非正整数（符号：Z^-₀或$\mathbb {Z} _{0}^{-}$）。在数论中自然数$\mathbb {N}$通常被视为与正整数等同，即1，2，3等，但在集合论和计算机科学中自然数则通常是指非负整数，即0，1，2等。

代数性质

下表给出任何整数$a,b,c$的加法和乘法的基本性质。

性质	加法	乘法
封闭性	$a+b$是整数	$a\times b$是整数
结合律	$a+(b+c)=(a+b)+c$	$a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$
交换律	$a+b=b+a$	$a\times b=b\times a$
存在单位元	$a+0=a$	$a\times 1=a$
存在逆元	$a+(-a)=0$	在整数集中，只有1或-1对于乘法存在整数逆元，其余整数$a$关于乘法的逆元为${\frac {1}{a}}$，都不为整数。
分配律	$a\times (b+c)=a\times b+a\times c$

全体整数关于加法和乘法形成一个环。环论中的整环、无零因子环和唯一分解域可以看作是整数的抽象化模型。

$\mathbb {Z}$是一个加法循环群，因为任何整数都是若干个1或-1的和。1和-1是$\mathbb {Z}$仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与$(\mathbb {Z} ,+)$同构。

有序性质

$\mathbb {Z}$是一个全序集，没有上界和下界，其序列如下：

$\ldots <-2<-1<0<1<2<\ldots$

一个整数大于零则为正，小于零则为负。零既非正也非负。

整数的序列在代数运算下是可以比较的，表示如下：

• 若$a<b$且$c<d$，则$a+c<b+d$（加法）
• 若$a<b$且$c>0$，则$a\times c<b\times c$；若$c<0$，则$a\times c>b\times c$（乘法）

整数环是一个欧几里德域。

电脑中的整数

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$\mathbb {Z}$的基数

$\mathbb {Z}$的基数（或势）是ℵ₀，与$\mathbb {N}$相同。这可以从$\mathbb {Z}$建立一双射函数到$\mathbb {N}$来证明，亦即该函数要同时满足单射及满射的条件，例如：

$f(x)={\begin{cases}2x+1,&{\mbox{if }}x\geq 0\\2|x|,&{\mbox{if }}x<0\end{cases}}$

当该函数的定义域仅限于$\mathbb {Z}$，则证明$\mathbb {Z}$与$\mathbb {N}$可建立一一对应的关系，即两集等势。

参见

• 整数数列线上大全
• 超整数