类 (数学)

在集合论及其数学应用中，类是一组集合（或其他数学对象）所构成的整体。有些类是集合（例如由所有偶数构成的类），但有些则不是（如所有集合所构成的类），不是集合的类被称之为真类（英语：Proper Class）。有些公理化集合论是以类为出发点来定义集合的，如冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论。

在数学里，有许多对象对集合而言太大，而必须以类来描述，像是大的范畴和超实数的类域之类等。要证明一给定“事物”为一真类，一般的做法是证明此一“事物”至少有着如序数一般多的元素。有关此一证明的例子，请参见完全自由格。

真类不能是一个集合或者是一个类的元素，而且不受ZF集合论中的公理所限制；因此避免掉了许多朴素集合论中的悖论。反而，这些悖论成了证明某一个类是否为真类的方法之一。例如，罗素悖论可以证明由所有不包含集合自身的集合所构成的类是一个真类，而布拉利-福尔蒂悖论则可证明所有序数所构成的类是一个真类。

标准的ZF集合论公理不会论及到类；而在元语言中，类只作为逻辑公式的等价类而存在。冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论则采取了另一种方式；类在此一理论中是基础的对象，而集合则被定义为可以是其他某些类的元素的类。真类，则为不可以是其他任何类的元素的类。

在其他集合论如新基础集合论或半集合的理论中，“真类”的概念依然是有意义的（不是任一堆事物都会是集合），但对集合特质的认定并非依据其大小。例如，所有包含全集的集合论都会有个是集合的子类的真类。

“类”这一词有时会和“集合”同义，最为人知的是“等价类”这一术语。这种用法是因为从前对类和集合不如现今一样地区别的缘故。许多19世纪之前对“类”的讨论提及的实际上是集合，又或者会是个更为模糊的概念。

引用

• Jech, Thomas, Set Theory, Springer Monographs in Mathematics third millennium, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2003, ISBN 978-3-540-44085-7 
• Levy, A., Basic Set Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1979