八面半八面体
在几何学中，八面半八面体是一种非凸多面体，属于星形多面体及均匀多面体[1]，也可以归类在非凸均匀多面体，其索引为U3。八面半八面体由8个正三角形和4个正六边形组成，且每个顶点对应的角皆相等，因此也可以被归类为拟正多面体[2]，然而由于这个立体同时具备半多面体的特性，因此被部分学者分成一类新的立体，即拟正半多面体（Versi-Regular Polyhedra），这类立体共有九个，最早在1881年由亚伯特·巴杜罗（Albert Badoureau）发现并描述[3]。特别地，这个立体的边长与外接球半径相等[4]。八面半八面体可以与星形八面体共同堆砌填满空间，因此曾应用于建筑结构中。[5]
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| 类别 | 星形均匀多面体 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 对偶多面体 | 八面半无穷星形八面体 | ||||
| 识别 | |||||
| 名称 | 八面半八面体 | ||||
| 参考索引 | U3, C37, W68 | ||||
| 鲍尔斯缩写 | oho | ||||
| 数学表示法 | |||||
| 考克斯特符号 |     | ||||
| 威佐夫符号 | 3/2 3 | 3 | ||||
| 性质 | |||||
| 面 | 12 | ||||
| 边 | 24 | ||||
| 顶点 | 12 | ||||
| 欧拉特征数 | F=12, E=24, V=12 （χ=0） | ||||
| 亏格 | -1 | ||||
| 组成与布局 | |||||
| 面的种类 | 8个三角形{3} 4个六边形{6} 存在半三角形{3/2} 一种抽象多胞形 | ||||
| 面的布局 | 8{3}+4{6} | ||||
| 顶点图 | 3.6.3/2.6 | ||||
| 对称性 | |||||
| 对称群 | Oh, [4,3], *432 | ||||
| 特性 | |||||
| 均匀 | |||||
| 图像 | |||||
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性质 编辑
八面半八面体共有12个面、24条边和12个顶点[6][7]，是一种十二面体，每个顶点都是2个正三角形和2个六边形的公共顶点。[6]
定向性 编辑
八面半八面体是唯一可定向且欧拉示性数为零的半多面体，[8]这意味着其具有拓扑环面的性质。[9]
 八面半八面体 |
 八面半八面体在拓朴上的展开图可以排布为分割成8个正三角形和4个正六边形的菱形。所有顶点的角亏为零 |
 这个展开图是截半六边形镶嵌的一部分，在威佐夫符号中计为3 3 | 3、考克斯特-狄肯记号计为  
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二面角 编辑
八面半八面体仅有一种二面角，为三角形和六边形的棱之交角，其值为三分之一的反余弦值[10][11]：
其值约为70度31分43.6秒
顶点座标 编辑
由于其凸包为截半立方体，因此其12顶点会与截半立方体相同，为(0, ±1, ±1),(±1, 0, ±1),(±1, ±1, 0)，若边长为a，则座标要缩放 倍。[12]
作为简单多面体 编辑
八面半八面体具有抽象多胞形半三角形面和互相相交的六边形面，但若去除相交的面作为一个简单多面体，则其可以视为由32个正三角形组成的凹多面体[13][14]。这种多面体共有32个面、48条边和13个顶点，其结构与四角化截半立方体拓朴同构，不过四角化截半立方体有18个顶点而这种多面体仅有13个顶点是因为有6个顶点在中心共用。另一方面，这个立体也可以视为由8个正四面体组合而成。[15]:103
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四角化截半立方体 -
截半立方体 -
倒四角化截半立方体
八面半八面体
对偶多面体 编辑
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| 类别 | 无穷星形多面体 | |
|---|---|---|
| 对偶多面体 | 八面半八面体 | |
| 识别 | ||
| 名称 | 八面半无穷星形八面体 | |
| 参考索引 | DU3 | |
| 数学表示法 | ||
| 考克斯特符号 |   | |
| 性质 | ||
| 面 | 12 | |
| 边 | 24 | |
| 顶点 | 12 | |
| 欧拉特征数 | F=12, E=24, V=12 （χ=0） | |
| 组成与布局 | ||
| 面的种类 | 12个四条棱的抽象多胞形 | |
| 顶点图 | 每个顶点周围都有3个面 | |
| 对称性 | ||
| 对称群 | Oh, [4,3], *432 | |
| 图像 | ||
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八面半八面体的对偶多面体是八面半无穷星形八面体。其外观与立方半无穷星形八面体相同[16]。
从定义上来看，对偶多面体的面会与原始立体的顶点图相同，同时顶点周围之面的排列方式会和原始立体的面之边相同，也就是说对偶多面体的顶点图为原始立体的面[17]。由于八面半无穷星形八面体是八面半八面体的对偶多面体，而八面半八面体的12个顶点皆为4个面的公共顶点，因此八面半无穷星形八面体的面理应具有12个面，每个面由4个边组成[7]。然而八面半八面体有部分面几何中心落在整个立体的几何中心上，因此其对偶多面体的顶点会落在无穷远处，即无穷实射影平面上的点。[18]一般来说，这样的立体无法被具象化[7]。为了具像化这种立体，温尼尔在著作《对偶模型》中将其描述为由无限高的柱体组合构成的立体，在这样的视觉化方式下，八面半八面体外观为由4个无限高的六角柱构成的立体[18]。
相关多面体 编辑
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八面半八面体
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八面半八面体可透过截去皮特里立方体的所有顶点来构造，也就是说，八面半八面体可以视为截半的皮特里立方体。[20][21]
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八面半八面体
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八面半八面体可以视为是截半立方体经过刻面后的结果[4]，而立方半八面体也可以视为是刻面的截半立方体[22]。
| 截半立方体 | 立方半八面体 | 八面半八面体 | ||
|---|---|---|---|---|
| 八面体对称 | 四面体对称 | 八面体对称 | 四面体对称 | |
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| 2 | 3 4 | 3 3 | 2 | 4/3 4 | 3 | 3/2 3 | 3 | |
 
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中心八面半八面体数 编辑
中心八面半八面体数是一种排列成八面半八面体的有形数。第n个中心八面半八面体数可以表示为 [23]。由于八面半八面体数与截半立方体共用相同的顶点排列方式，因此数列前两项与中心截半立方体数（OEIS数列A005902）相同，第三项开始少去了八面半八面体数相对于截半立方体缺少的6个四角锥[23]
前几个中心八面半八面体数为：
参见 编辑
参考文献 编辑
- ^ Wolfram, Stephen. "Octahemioctahedron". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
- ^ George W. Hart. Quasi-Regular Polyhedra. 1996 [2021-09-05]. （原始内容存档于2021-08-30）.
- ^ Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47-172.
- ^ 4.0 4.1 Weisstein, Eric W. (编). Octahemioctahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ Hisarligil, Hakan and Hisarligil, Beyhan Bolak. The Geometry of Cuboctahedra in Medieval Art in Anatolia. Nexus Network Journal (Springer). 2018, 20 (1): 125–152.
- ^ 6.0 6.1 Uniform Polyhedra 03: Octahemioctahedron. mathconsult. [2016-08-31]. （原始内容存档于2020-02-17）.
- ^ 7.0 7.1 7.2 Vladimir Bulatov. octahemioctacron. Polyhedra Collection, bulatov.org. [2021-07-30]. （原始内容存档于2020-02-23）.
- ^ The Octahemioctahedron. 西密歇根大学. [2016-08-31]. （原始内容存档于2016-03-14）.
- ^ David A. Richter. The Octahemioctahedron. [2016-08-31]. （原始内容存档于2016-03-14）.
- ^ Jean Paul Albert Badoureau, Mémoire sur les Figures Isocèles, Journal de l'École polytechnique 49 (1881), 47-172.
- ^ Versi-Regular Polyhedra: Octahemioctahedron. dmccooey.com. [2016-08-31]. （原始内容存档于2019-10-03）.
- ^ Klitzing, Richard. octahemioctahedron, oho. bendwavy.org. [2021-09-06]. （原始内容存档于2021-01-23）.
- ^ Gijs Korthals Altes. 作為簡單多面體的八面半八面體展開圖 (PDF). korthalsaltes.com. [2016-08-31]. （原始内容 (PDF)存档于2016-06-15）.
- ^ Robert Webb. Octahemioctahedron. software3d.com. [2021-09-07]. （原始内容存档于2021-07-29）.
- ^ Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-06]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始内容存档于2021-08-31）.
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Octahemioctacron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Dual Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ 18.0 18.1 Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 2003 [1983], ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208, doi:10.1017/CBO9780511569371 (Page 101, Duals of the (nine) hemipolyhedra)
- ^ HİSARLIGİL, Hakan and HİSARLIGİL, Beyhan BOLAK. The third dimension of the Magdouh Mosaic in Antioch. Journal of Mosaic Research. 2019, (12): 107-118},.
- ^ {6,3}(2,2), Petrie dual of the cube. Regular Map database - map details. [2021-07-30].
- ^ octahemioctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-30]. （原始内容存档于2021-07-25）.
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Cubohemioctahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ 23.0 23.1 Sloane, N.J.A. (编). Sequence A274974 (Centered octahemioctahedral numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.