巴拿赫-阿劳格鲁定理

泛函分析和邻近数学分支中，巴拿赫-阿劳格鲁定理或阿劳格鲁定理（英语：Banach–Alaoglu theorem或Alaoglu's theorem）断言，任意赋范向量空间的连续对偶空间中，闭单位球在弱*拓扑中为紧。常见证明将弱*拓扑中的单位球看成一系列紧集之积的闭子集。根据吉洪诺夫定理，该些紧集的积拓扑空间仍为紧，故该球亦然。

定理在量子力学方面有应用。系统的可观测量是某个C*代数中的自伴算子，而量子态则是该代数上的线性泛函。此框架下，定理可以推出，每个量子态皆是纯态的凸线性组合。

历史

纳里奇（Narici）与贝肯斯坦（Beckenstein）书中，称阿劳格鲁定理为“非常重要的结果——也许是关于弱*拓扑唯一（the）最重要的事——回响传遍泛函分析。”1912年，赫利（Helly）证明，闭区间上连续函数的空间$C([a,b])$，其连续对偶空间的单位球，为弱*可数紧。1932年，斯特凡·巴拿赫证明，任何可分赋范向量空间的连续对偶中，闭单位球必为弱*序列紧（他仅考虑了序列紧）。 一般情况的证明，是由列奥尼达·阿劳格鲁于1940年发表。纳里奇与贝肯斯坦书中，引述Pietsch [2007]指，至少有12个数学家可以主张自己证明此定理或某个重要前身。

布尔巴基-阿劳格鲁定理（英语：Bourbaki–Alaoglu theorem）是尼古拉·布尔巴基将原定理推广到局部凸空间的对偶拓扑的结果。此定理亦称为巴拿赫-阿劳格鲁定理或弱*紧定理（英语：weak-* compactness theorem），也常简称为阿劳格鲁定理（英语：Alaoglu theorem）。

叙述

一般叙述

参见：拓扑向量空间 § 对偶空间、对偶系和极集

对于域$\mathbb {K}$上的向量空间$X$，以$X^{\#}$表示其代数对偶（所有线性泛函组成的空间）。两者由双线性求值映射$\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :X\times X^{\#}\to \mathbb {K}$所联系，该映射由

$\left\langle x,f\right\rangle :=f(x)$

定义。所以，三元组$\left\langle X,X^{\#}\right\rangle$（两个空间及一个映射）组成对偶系，称为典范对偶系。

若$X$进一步具有拓扑，即为拓扑向量空间（TVS），则可分辨其上的函数连续与否，并定义其连续对偶$X^{\prime }$为代数对偶$X^{\#}$中，连续泛函组成的子集。以$\sigma \left(X^{\#},X\right)$表示$X^{\#}$上的弱*拓扑。类似有$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$是$X^{\prime }$上的弱*拓扑。

弱*拓扑又称逐点收敛拓扑，因为给定映射$f$和一网映射$f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}$，网$f_{\bullet }$在弱*拓扑中收敛至$f$，当且仅当对定义域中每点$x$，函数值组成的网$\left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}$收敛到$f(x)$。

阿劳格鲁定理

设$X$为任意拓扑向量空间（无需豪斯多夫或局部凸），$X^{\prime }$为其连续对偶，则对于$X$中原点的任何邻域$U$（$0\in U\subseteq X$），其极集

$U^{\circ }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{x\in U}\left|x^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}\subseteq X',$

在$X^{\prime }$上的弱*拓扑$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$中，必为紧集。

此外，$U^{\circ }$亦是$U$相对于典范对偶系$\left\langle X,X^{\#}\right\rangle$的极集，在拓扑空间$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$同样为紧。

赋范特例

若$X$为赋范向量空间，则原点邻域的极集，在对偶空间中为闭，且其范数有上界。特别地，若$U$为$X$的开（或闭）单位球，则$U$的极集为连续对偶空间$X^{\prime }$的闭单位球（对偶空间配备平常的对偶范数）。此时，定理化为以下特例：

巴拿赫-阿劳格鲁定理

若$X$为赋范空间，则连续对偶空间$X^{\prime }$中，算子范数的闭单位球，为弱*拓扑中的紧集。

当$X$的连续对偶$X^{\prime }$是无穷维赋范空间时，$X^{\prime }$中的闭单位球，不可能是平常范数拓扑的紧集。原因是，范数拓扑的闭单位球为紧，当且仅当空间为有限维（见F·里斯定理）。此定理显示出，在同一个向量空间上，考虑不同的拓扑，到㡳有何用。

但注意，巴拿赫-阿劳格鲁定理并不推出弱*拓扑为局部紧，因为仅知闭单位球在强拓扑中为原点的邻域，在弱*拓扑中则不一定。弱*拓扑中，单位球的内部可能为空，除非空间为有限维。实际上，韦伊证明，局部紧的豪斯多夫拓扑向量空间必为有限维。

证明

对偶理论证明

记$X$的基域为$\mathbb {K}$，此处为实数域$\mathbb {R}$或复数域$\mathbb {C}$。证明会用到极集、对偶系、连续线性算子的基本性质，可参见该些条目，以下亦会简单提及。

先列举一些常见定义和性质。当代数对偶$X^{\#}$配备弱*拓扑$\sigma \left(X^{\#},X\right)$时，为一个豪斯多夫局部凸拓扑向量空间，记为$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$。空间$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$总是完备，但连续对偶$\left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)$则不一定，此即证明需牵涉$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$的原因。具体而言，本证明用到的性质是：完备豪斯多夫空间的子集为紧，当且仅当其为闭，且完全有界。注意$X^{\prime }$从$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$继承的子空间拓扑，等于弱*拓扑$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$。为验证此事，只需检查对每个$x^{\prime }\in X^{\prime }$，$X^{\prime }$中的网在其中一个拓扑中收敛到$x^{\prime }$，当且仅当在另一个拓扑中亦然（因为两个拓扑结构相等，当且仅当其具有的收敛网完全一样）。

三元组$\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle$也是对偶对（有双线性映射$(x,f)\mapsto f(x)$），但与$\left\langle X,X^{\#}\right\rangle$不同，前者一般而言未必是对偶系。以下定义极集时，会注明是对于何种对偶而言。

设$U$为$X$原点的邻域，又设：

• $U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}$为$U$相对$\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle$的极集；
• $U^{\circ \circ }=\left\{x\in X~:~\sup _{f\in U^{\circ }}|f(x)|\leq 1\right\}$为$U$相对$\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle$的二重极集；
• $U^{\#}=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}$为$U$相对$\left\langle X,X^{\#}\right\rangle$的极集。

极集的基本性质有$U^{\circ \circ \circ }\subseteq U^{\circ }$。

下证巴拿赫-阿劳格鲁定理，分若干步：

1. 先证$U^{\#}$在拓扑$\sigma \left(X^{\#},X\right)$中为$X^{\#}$的闭子集：设$f\in X^{\#}$，又假设$f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}$为$U^{\#}$中的网，在$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$中收敛到$f$。欲证$f\in U^{\#}$，即$|f(u)|\leq 1$对任意$u\in U$皆成立。因为在标量域$\mathbb {K}$中，$f_{i}(u)\to f(u)$，而每个值$f_{i}(u)$皆属于（$\mathbb {K}$的）闭子集$\left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\}$，故网的极限$f(u)$亦必在该子集中。于是$|f(u)|\leq 1$。
2. 其次，欲证$U^{\#}=U^{\circ }$，以推出$U^{\circ }$既是$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$的闭子集，亦是$\left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)$的闭子集：有包含关系$U^{\circ }\subseteq U^{\#}$，因为连续线性泛函尤其是线性泛函。反之，欲证$\,U^{\#}\subseteq U^{\circ }$，设$f\in U^{\#}$满足$\;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1$，换言之线性泛函$f$在邻域$U$上有界，而泛函有界等价于连续，故$f\in X^{\prime }$，从而$f\in U^{\circ }$，即所求证。用第1步，结合交集$U^{\#}\cap X^{\prime }=U^{\circ }\cap X^{\prime }=U^{\circ }$在$X^{\prime }$的子空间拓扑中为闭，推得$U^{\circ }$为闭。
3. 欲证$U^{\circ }$对$X^{\prime }$的$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$拓扑而言是完全有界子集：由二重极集定理，$U\subseteq U^{\circ \circ }$，又因为邻域$U$为$X$中的吸收集，$U^{\circ \circ }$亦同。可以证明，此结论推出$U^{\circ }$是$X^{\prime }$对$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$而言的有界子集。由于$X$分辨$X^{\prime }$各点，$X^{\prime }$的子集在$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$意义下有界，当且仅当在同样意义下完全有界。所以，尤其有$U^{\circ }$在$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$意义下完全有界。
4. 欲证$U^{\circ }$亦为$X^{\#}$在$\sigma \left(X^{\#},X\right)$拓扑下的完全有界子集：已知$X^{\prime }$上，$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$拓扑等于$X^{\prime }$从$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$继承的子空间拓扑，结合第3步与“完全有界”的定义，即推出$U^{\circ }$为$X^{\#}$在$\sigma \left(X^{\#},X\right)$拓扑下的完全有界子集。
5. 最后，欲证$U^{\circ }$为$X^{\prime }$在$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$拓扑下的紧子集：因为$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$为完备拓扑向量空间，又$U^{\circ }$为其闭（第2步）而完全有界（第4步）的子集，所以$U^{\circ }$为紧。定理证毕。

较初等的证明

以下证明，仅用到集合论、点集拓扑、泛函分析的基本概念。拓扑方面，需要熟悉使用拓扑空间中的网、积拓扑、两者与逐点收敛的关联（为方便起见，证明中也会给出部分细节）。同时也要了解，线性泛函为连续，当且仅当其在原点的某个邻域上有界（见次线性泛函）。

设向量空间$X$的基域为$\mathbb {K}$，为实数系$\mathbb {R}$或复数系$\mathbb {C}$两者之一。对任意实数$r$，以

$B_{r}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}$

表示以原点为球心，半径为$r$的闭球。在$\mathbb {K}$中，此为紧的闭集。

极集的等价表示

由于$U$是$X$中原点的邻域，可知$U$亦是$X$的吸收集，即对每个$x\in X$，皆有正实数$r_{x}>0$使$x\in r_{x}U:=\left\{r_{x}u:u\in U\right\}$。以

$U^{\#}:=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}~=~\left\{f\in X^{\#}~:~f(U)\subseteq B_{1}\right\}$

表示$U$相对典范对偶系$\left\langle X,X^{\#}\right\rangle$的极集。将证明，此极集$U^{\#}$，与定理提到，$U$相对$\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle$的极集$U^{\circ }$，两者相等。

$U^{\circ }\subseteq U^{\#}$成立，是因为连续线性泛函按定义必是线性泛函。反之，欲证$U^{\#}\subseteq U^{\circ }$，设$f\in U^{\#}$满足$\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1$，即线性泛函$f$在邻域$U$上有界。所以$f$是连续线性算子（换言之$f\in X^{\prime }$），从而有$f\in U^{\circ }$，即所求证。

至此，已证明$U^{\circ }=U^{\#}$，余下的证明中，需理解笛卡儿积${\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} }$与所有$X\to \mathbb {K}$的映射构成的空间$\mathbb {K} ^{X}$等同。仍需证明以下两个命题：

1. $U^{\circ }$为$\mathbb {K} ^{X}$的闭子集。
   • 此处$\mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K}$配备的是逐点收敛拓扑，等同于积拓扑。
2. $U^{\circ }\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.$
   • 其中$B_{r_{x}}\subseteq \mathbb {K}$表示以原点$0$为球心，$r_{x}$为半径的闭球。本证明开始时，对每个$x\in X$， 已定义$r_{x}$为使$x\in r_{x}U$的任意一个实数$r_{x}>0$。特别地，对于$u\in U$，可以选$r_{u}:=1$。

以上命题推出，$U^{\circ }$为${\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}$的闭子集，而由吉洪诺夫定理，该积空间为紧（因为每个闭球$B_{r_{x}}$皆为紧）。因为紧空间的闭子集仍为紧，所以有$U^{\circ }$为紧集，从而证毕巴拿赫-阿劳格鲁定理的主要结论。

极集为闭

以下证明前述命题1。代数对偶$X^{\#}$总是积空间${\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }$ 的闭子集。要证明$U^{\circ }$在$\mathbb {K} ^{X}$中为闭，祇需证明集合

${\widetilde {U}}^{\circ }~:=~\left\{f\in \mathbb {K} ^{X}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}$

是$\mathbb {K} ^{X}$的闭子集，因为若有此结论，则${\widetilde {U}}^{\circ }\cap X^{\#}=U^{\#}=U^{\circ }$是$\mathbb {K} ^{X}$中两闭集之交，故亦为闭集。

设$f\in \mathbb {K} ^{X}$，又设$f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}$为${\widetilde {U}}^{\circ }$中的网，在$\mathbb {K} ^{X}$中收敛到$f$。需要证明$f\in {\widetilde {U}}^{\circ }$。换言之，要证对每个$u\in U$，$|f(u)|\leq 1$（或等价写成$f(u)\in B_{1}$）。由于在标量域$\mathbb {K}$中，$\left(f_{i}(u)\right)_{i\in I}\to f(u)$，且每项$f_{i}(u)$皆属于$\mathbb {K}$中的闭子集$B_{1}=\left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\}$，此网的极限$f(u)$亦必属于该闭集，即$f(u)\in B_{1}$。证毕命题1。

上述证明可以推广，以论证以下命题：

设$U\subseteq X$为任意集合，$B\subseteq Y$为拓扑空间$Y$的闭子集，则在$Y^{X}$的逐点收敛拓扑中，$P_{U}:=\left\{f\in Y^{X}~:~f(U)\subseteq B\right\}$为闭子集。

命题1为其特殊情况，取$Y:=\mathbb {K}$和$B:=B_{1}$便得。

极集包含于紧空间之积

以下证明前述命题2。对任意$z\in X$，以${\textstyle \Pr {}_{z}:\prod _{x\in X}\mathbb {K} \to \mathbb {K} }$表示到第$z$个坐标的投影。欲证${\textstyle U^{\circ }\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}$。换言之，欲对每个$x\in X$，证明$\Pr {}_{x}(U^{\circ })\subseteq B_{r_{x}}$。

于是选定$x\in X$，设$f\in U^{\circ }$；要证$\Pr {}_{x}(f):=f(x)\in B_{r_{x}}$。由$r_{x}$的定义，$x\in r_{x}U$，故${\textstyle \,u_{x}:=\left({\frac {1}{r_{x}}}\right)x\in U}$。因为$f\in U^{\circ }=U^{\#}$，线性泛函$f$满足${\textstyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}$，所以由$u_{x}\in U$，可知

${\frac {1}{r_{x}}}|f(x)|=\left|{\frac {1}{r_{x}}}f(x)\right|=\left|f\left({\frac {1}{r_{x}}}x\right)\right|=\left|f\left(u_{x}\right)\right|\leq \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1.$

所以$|f(x)|\leq r_{x}$，即$f(x)\in B_{r_{x}}$，证毕命题2。

序列版本

巴拿赫-阿劳格鲁定理有个特殊情况，对可分空间使用，并将“紧”换成“序列紧”。此时定理断言：

可分赋范向量空间的对偶中，闭单位球在弱*拓扑下是序列紧。

可度量

实际上，可分空间的对偶的闭单位球上，弱*拓扑可度量，故紧与序列紧等价。

明确而言，设$X$为可分赋范向量空间，而$B$为连续对偶$X^{\prime }$中的闭单位球。根据$X$可分的定义，有某个可数稠密子集，列举为$x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$。则下式定义一个度量：对于$x,y\in B$，

$\rho (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }\,2^{-n}\,{\frac {\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}{1+\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|,}}$

其中$\langle \cdot ,\cdot \rangle$表示$X^{\prime }$与$X$的对偶匹配，即将后一个元素代入到前一个元素求值。此度量下，$B$为序列紧之事，用类似阿尔泽拉-阿斯科利定理的对角线证法，即可证明。

由于证明本质为构造性（而非如一般情况，用到非构造性的选择公理），在偏微分方程学中，有时使用序列巴拿赫-阿劳格鲁定理，构造偏微分方程或变分问题的解。举例，若有某个可分赋范空间$X$，其对偶上有泛函$F:X^{\prime }\to \mathbb {R}$，欲求最小值，则常见策略是先构造序列$x_{1},x_{2},\ldots \in X^{\prime }$，使$F$的泛函值趋向下确界，然后诉诸序列巴拿赫-阿劳格鲁定理，取出子序列$(x_{n_{k}})_{k}$，在弱*拓扑下收敛到极限$x$，并确定$x$使$F$取最小值。最后一步通常要求$F$在弱*拓扑下为（序列）下半连续。

考虑另一个例子，设$X=C_{0}(\mathbb {R} )$为实轴上，在无穷远处消失的连续函数组成的空间，则由里斯-马可夫表示定理，$X^{\prime }$为实轴上全体有限拉东测度的空间。此时序列巴拿赫-阿劳格鲁定理等价于赫利选择定理。

证明

下证序列版本的巴拿赫-阿劳格鲁定理。

对每个$x\in X$，设

$D_{x}=\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq \|x\|\},$

以及

$D=\prod _{x\in X}D_{x}.$

因为$D_{x}$是复平面的紧子集，$D$在积拓扑中亦为紧（根据吉洪诺夫定理）。

$X^{\prime }$中的闭单位球$B_{1}\left(X^{\prime }\right)$，可以自然地看成$D$的子空间：考虑映射

$f\in B_{1}\left(X^{\prime }\right)\mapsto (f(x))_{x\in X}\in D,$

其为单射，且对于$B_{1}\left(X^{\prime }\right)$的弱*拓扑和$D$的积拓扑而言，是连续映射。在像集上，映射的逆也连续。

欲完成定理的证明，只需证明映射的像为闭集。给定网$D$中的网

$\left(f_{\alpha }(x)\right)_{x\in X}\to \left(\lambda _{x}\right)_{x\in X},$

等式$g(x)=\lambda _{x}$定义的泛函$g$，也在$B_{1}(X^{\prime })$中。定理证毕。

推论

赋范空间

假设$X$为赋范空间，则其连续对偶空间$X^{\prime }$具有对偶范数。

• $X^{\prime }$中的闭单位球为弱*紧。相比之下，若$X^{\prime }$为无穷维，则其闭单位球在范数拓扑中必不为紧（F·里斯定理）。
• 某巴拿赫空间自反，当且仅当其闭单位球在弱拓扑$\sigma \left(X,X^{\prime }\right)$下为紧。
• 若$X$为自反巴拿赫空间，则$X$中每个有界序列，都有弱收敛子列。（此为对$X$某个弱可度量子空间应用巴拿赫-阿劳格鲁定理的结果。更简洁而言，是应用埃伯莱恩-什穆良定理。）举例，设$X$为L^p空间$L^{p}(\mu )$，其中$1<p<\infty$。设$(f_{n})_{n}$为$X$中函数组成的有界序列。则存在子列$(f_{n_{k}})_{k}$，且有$f\in X$使得
  $$\int f_{n_{k}}g\,\mathrm {d} \mu \to \int fg\,\mathrm {d} \mu$$
  对于$X^{\prime }=L^{q}(\mu )$中的任意函数$g$成立，其中${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$。对于$p=1$，没有相应的结论，因为$L^{1}(\mu )$不自反。

希尔伯特空间

• 任意希尔伯特空间中，闭有界集必然弱相对紧，即其在弱拓扑的闭包为弱紧，故每个有界网必有弱收敛子网（希尔伯特空间皆自反）。
• 由哈恩－巴拿赫定理，范数拓扑中的闭凸集，在弱拓扑中也是闭集，故希尔伯特空间或自反巴拿赫空间中，凸有界集的范数闭包必为弱紧。
• 设$H$为希尔伯特空间，$B(H)$为其上有界算子的空间，则$B(H)$可以配备以下两种不同的拓扑：一则超弱拓扑，即$B(H)$作为迹类算子空间$B_{1}(H)$的对偶所具备的弱*拓扑；二则弱算子拓扑，是使形如$T\mapsto \langle Tx,y\rangle$的映射皆连续的最弱的拓扑，此拓扑比超弱拓扑更弱。此定义下，$B(H)$中的闭有界子集，关于弱算子拓扑为相对紧。所以，算子的有界序列必有某个弱极限点。其推论是，$B(H)$配备弱算子拓扑或超弱拓扑时，满足海涅-博雷尔性质。

与选择公理的关系

通常，会用到吉洪诺夫定理来证明巴拿赫-阿劳格鲁定理，所以要依赖于ZFC公理系统，尤其是选择公理。主流泛函分析中，许多结果皆依赖选择公理。然而，本定理在可分空间的情况（见§ 序列版本）并不依赖选择公理，该情况下有构造性证明。对于不可分的情况，超滤子引理比选择公理严格弱，但亦足以证明巴拿赫-阿劳格鲁定理。反之，巴拿赫-阿劳格鲁定理也推出超滤子引理，所以两者等价。

参见

• 毕晓普-菲尔普斯定理
• 巴拿赫-马祖尔定理
• Δ收敛
• 埃伯莱恩-什穆良定理
• 古德斯汀定理
• 詹姆斯定理
• 克列因-米尔曼定理
• 马祖尔引理
• 拓扑向量空间——有“连续”概念的向量空间

参考资料

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