开集
在数学上,特别是拓朴学中,开集是对实数开区间进行推广之后得到的抽象集合。
通常微积分的课程中,会借助欧式空间的距离去描述数列极限;直观上,当 越来越大时数列 跟 要多靠近有多靠近的时候,就说 是数列 的极限,但这需要距离去严谨的描述“靠近程度”,开集就是来自于" 点附近"这样的直观概念。类似的,函数极限也需要距离的概念去严谨定义。
定义 编辑
欧式空间 编辑
代表 维欧式空间, 而 中的任两点距离(欧式距离)为
若 ,且对所有 ,存在一个 ,使得对所有 ,只要 就有 ,那么就说子集 是 中的一个开集。也就是说,开集 里的所有点 都有一个以 为中心的开球完全包含于 。
赋距空间 编辑
欧式空间的开集很容易地推广到赋距空间 中:
是 的子集,若对所有 中的点 ,存在 使得对所有 中的点 ,只要 ,则 也属于 ,或以正式的逻辑符号表述为
则称 是 的一个开集。也就是说,如果所有 中的点都有完全包含于 的开球, 便是开集。
这的确推广了欧式空间部分的定义,因为欧式距离和欧式空间本身就组成了一个赋距空间。
赋距空间的开集还会有以下的性质:
定理:
若 为赋距空间,则
(1) 和 也是 的开集。
(2) 若 和 都是 的开集,则 也是 的开集。
关于上面性质的证明,(1)是非常显然的;(2)只需取每一点比较小的开球即可[注 1];(3)根据并集的定义也是非常显然的[注 2]。
事实上这些性质这就是拓扑空间定义的动机。
拓扑空间 编辑
开集是拓扑空间定义的基石;也就是从任意母集合 出发,再选取 的特定的子集族 ,规定 中的集合就是开集,这样的子集族 被叫做 上的拓朴:
根据上一节赋距空间的性质,取 为所有 的开集所构成的子集族,则显然 也是一拓扑空间。
例子 编辑
用处 编辑
开集在拓扑学分支中有着基础的重要性。当定义拓扑空间和其他拓扑结构(处理邻近性与收敛此类概念,比如度量空间和一致空间)时,都会用到开集的概念。
拓扑空间X的每个子集A都包含至少一个(可能为空)开集;最大的这种开集被叫做A的内部。它可以通过取包含在A中的所有开集的并集来构造。
给定拓扑空间X和Y,从X到Y的函数f是连续的,如果在Y中的所有开集的前像是在X中的开集。映射f被叫做开映射,如果在X中的所有开集的像是Y中的开集。
实直线上的开集都是可数个不相交开区间的并集。