在向量分析 中,旋度 (英语:curl )是一个向量 算子 ,表示在三维欧几里德空间 中的向量场的无穷小量 旋转 。在向量场每个点上,点的旋度表示为一个向量 ,称为旋度向量。这个向量的特性(长度和方向)刻画了在这个点上的旋转。
曲线积分的向量方向约定,可用右手定则从向量场的旋转方向去确定它的旋度向量方向,旋度向量n ^ {\displaystyle {\hat {n}}} 对应右手拇指的指向,向量场A {\displaystyle A} 的旋转方向ω ^ {\displaystyle {\hat {\omega }}} 对应右手弯曲的其他四指的指向。 旋度的方向是旋转的轴,它由右手定则 来确定,而旋度的大小是旋转的量 。如果向量场表示一个移动的流形 的流速 ,则旋度是这个流形的环量 面密度。旋度为零的向量场叫做无旋向量场 。旋度是向量的一种微分 形式。微积分基本定理 的对应形式是开尔文-斯托克斯定理 ,它将向量场旋度的曲面积分 关联于这个向量场环绕边界曲线的曲线积分 。
对于旋度curl F 还经常使用可替代的术语回转度(rotation[1] 或rotational)和可替代的符号rot F 和∇ × F 。前者特别用于很多欧洲国家,后者使用del (或称nabla)算子和叉积 ,更多用于其它国家。
不同于梯度 和散度 ,旋度不能简单的推广到其他维度;某些推广是可能的,但是只有在三维中,在几何上定义的向量场旋度还是向量场。这个现象类似于三维叉积 ,这个联系反应在旋度的符号∇ × 上。
旋度的名称“curl”最初由詹姆斯·克拉克·麦克斯韦 在1871年提出[2] ,但这个概念显然最初用于James MacCullagh 在1839年对光学场理论的构建中[3] 。
分量表示
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在不同的坐标系下,向量场的旋度有不同的表达方式。
直角坐标系
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在三维直角坐标系 x y z {\displaystyle xyz} 中,设向量场 A {\displaystyle \mathbf {A} } 为[5] :8 :
A ( x , y , z ) = A x ( x , y , z ) i + A y ( x , y , z ) j + A z ( x , y , z ) k {\displaystyle \mathbf {A} (x,y,z)=A_{x}(x,y,z)\mathbf {i} +A_{y}(x,y,z)\mathbf {j} +A_{z}(x,y,z)\mathbf {k} } ,其中的 i , j , k {\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} } 分别是 x {\displaystyle x} 轴、y {\displaystyle y} 轴、z {\displaystyle z} 轴方向上的单位向量,场的分量 A x , A y , A z {\displaystyle A_{x},A_{y},A_{z}} 具有一阶连续偏导数 , 那么在各个坐标上的投影分别为:
∂ A z ∂ y − ∂ A y ∂ z , ∂ A x ∂ z − ∂ A z ∂ x , ∂ A y ∂ x − ∂ A x ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}},\quad {\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}},\quad {\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}} 的向量叫做向量场A 的旋度,也就是[4] :14 :
c u r l A = ∇ × A = ( ∂ A z ∂ y − ∂ A y ∂ z ) i + ( ∂ A x ∂ z − ∂ A z ∂ x ) j + ( ∂ A y ∂ x − ∂ A x ∂ y ) k {\displaystyle \mathbf {curl\,} \ \mathbf {A} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} =\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} } 旋度的表达式也可以用行列式 记号形式表示[5] :4-5 :
c u r l A = | i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z A x A y A z | {\displaystyle \mathbf {curl\,} \mathbf {A} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}} 需要注意的是这里的行列式记号只有形式上的意义,因为真正的行列式中的系数应该是数值而不是 i , j , k {\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} } 这样的向量。这种表示方法只是便于记忆旋度在直角坐标系中的表达式[6] :78 。
圆柱坐标系
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圆柱坐标系 中,假设物体的位置为( ρ , φ , z ) {\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)} ,定义其径向单位矢量、横向单位矢量和纵向单位矢量为e ρ , e φ , e z {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{\rho },{\boldsymbol {e}}_{\varphi },{\boldsymbol {e}}_{z}} ,那么向量场A {\displaystyle \mathbf {A} } 可以表示成:
A = A ρ ( ρ , φ , z ) e ρ + A φ ( ρ , φ , z ) e φ + A z ( ρ , φ , z ) e z {\displaystyle \mathbf {A} =A_{\rho }(\rho ,\varphi ,z){\boldsymbol {e}}_{\rho }+A_{\varphi }(\rho ,\varphi ,z){\boldsymbol {e}}_{\varphi }+A_{z}(\rho ,\varphi ,z){\boldsymbol {e}}_{z}} ,向量场A 的旋度就是[7] [6] :87 :
c u r l A = ( 1 ρ ∂ A z ∂ φ − ∂ A φ ∂ z ) e ρ + ( ∂ A ρ ∂ z − ∂ A z ∂ ρ ) e φ + 1 ρ ( ∂ ( ρ A φ ) ∂ ρ − ∂ A ρ ∂ φ ) e z {\displaystyle \mathbf {curl\,} \mathbf {A} =\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {e}}_{\rho }+\left({\frac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right){\boldsymbol {e}}_{\varphi }+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial ({\rho }A_{\varphi })}{\partial \rho }}-{\frac {\partial A_{\rho }}{\partial \varphi }}\right){\boldsymbol {e}}_{z}} 。旋度的表达式也可以用行列式 记号形式表示(即向量积 的行列式形式),比如:
∇ × A = | 1 ρ e ρ e φ 1 ρ e z ∂ ∂ ρ ∂ ∂ φ ∂ ∂ z A ρ ρ A φ A z | {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} ={\begin{vmatrix}{\frac {1}{\rho }}\mathbf {e} _{\rho }&\mathbf {e} _{\varphi }&{\frac {1}{\rho }}\mathbf {e} _{z}\\{\frac {\partial }{\partial \rho }}&{\frac {\partial }{\partial \varphi }}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\A_{\rho }&\rho A_{\varphi }&A_{z}\end{vmatrix}}} 要注意的是:以上的行列式中元素并不是可交换 的。实际计算时,展开式其中的每一项应该是第一行的元素乘以第二行的元素再作用于第三行的元素。例如应该是1 ρ e z ⋅ ∂ ∂ ρ ( ρ A φ ) {\displaystyle {\frac {1}{\rho }}\mathbf {e} _{z}\cdot {\frac {\partial }{\partial \rho }}(\rho A_{\varphi })} 而不是∂ ∂ ρ ( ρ A φ ⋅ 1 ρ e z ) . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \rho }}(\rho A_{\varphi }\cdot {\frac {1}{\rho }}\mathbf {e} _{z}).} 后文中的球面坐标系表达式也是如此。
球坐标系
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球坐标系 中,假设物体的位置用球坐标表示为( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} ,定义它的单位向量 :e r , e θ , e φ {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{r},{\boldsymbol {e}}_{\theta },{\boldsymbol {e}}_{\varphi }} ,则向量场A 可以表示成:
A = A r ( r , θ , φ ) e r + A θ ( r , θ , φ ) e θ + A φ ( r , θ , φ ) e φ , {\displaystyle \mathbf {A} =A_{r}(r,\theta ,\varphi ){\boldsymbol {e}}_{r}+A_{\theta }(r,\theta ,\varphi ){\boldsymbol {e}}_{\theta }+A_{\varphi }(r,\theta ,\varphi ){\boldsymbol {e}}_{\varphi },} 向量场A 的旋度就是[8] [6] :87 :
c u r l A = 1 r sin θ ( ∂ ( A φ sin θ ) ∂ θ − ∂ A θ ∂ φ ) e r + 1 r ( 1 sin θ ∂ A r ∂ φ − ∂ ( r A φ ) ∂ r ) e θ + 1 r ( ∂ ( r A θ ) ∂ r − ∂ A r ∂ θ ) e φ . {\displaystyle \mathbf {curl\,} \mathbf {A} ={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial (A_{\varphi }\sin \theta )}{\partial \theta }}-{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right){\boldsymbol {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial (rA_{\varphi })}{\partial r}}\right){\boldsymbol {e}}_{\theta }+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial (rA_{\theta })}{\partial r}}-{\frac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right){\boldsymbol {e}}_{\varphi }\,.} 旋度的表达式也可以用行列式 记号形式表示(即向量积 的行列式形式):[9]
∇ × A = 1 r 2 sin θ | e r r e θ r sin θ e φ ∂ ∂ r ∂ ∂ θ ∂ ∂ φ A r r A θ r sin θ A φ | {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} ={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{r}&r\mathbf {e} _{\theta }&r\sin \theta \mathbf {e} _{\varphi }\\{\frac {\partial }{\partial r}}&{\frac {\partial }{\partial \theta }}&{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\\A_{r}&rA_{\theta }&r\sin \theta A_{\varphi }\end{vmatrix}}}
以下的性质都可以从常见的求导法则推出。最重要的是,旋度是一个线性算子 ,也就是说[5] :9 :
c u r l ( a F + b G ) = a c u r l ( F ) + b c u r l ( G ) {\displaystyle \mathbf {curl\,} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\mathbf {curl\,} (\mathbf {F} )+b\;\mathbf {curl\,} (\mathbf {G} )} 其中F 和G 是向量场,a 和b 是实数。
设φ {\displaystyle \varphi } 是标量函数,F 是向量场,则它们的乘积的旋度为[5] :9 :
c u r l ( φ F ) = g r a d ( φ ) × F + φ c u r l ( F ) , {\displaystyle \mathbf {curl\,} (\varphi \mathbf {F} )=\mathbf {grad\,} (\varphi )\times \mathbf {F} +\varphi \;\mathbf {curl\,} (\mathbf {F} ),} 或
∇ × ( φ F ) = ( ∇ φ ) × F + φ ∇ × F . {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times (\varphi \mathbf {F} )=({\boldsymbol {\nabla }}\varphi )\times \mathbf {F} +\varphi \;{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} .} 设有两个向量场F 和G ,则它们的向量积 的旋度为[5] :9 :
∇ × ( F × G ) = ( G ⋅ ∇ ) F − ( ∇ ⋅ F ) G − ( F ⋅ ∇ ) G + ( ∇ ⋅ G ) F {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\mathbf {G} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {F} \;-\;({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} )\mathbf {G} -(\mathbf {F} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {G} +({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {G} )\mathbf {F} } 一个标量场 f {\displaystyle f} 的梯度 场是无旋场,也就是说它的旋度处处为零[4] :14 :∇ × ( ∇ f ) = 0. {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}f)=0.}
一个向量场 F {\displaystyle \mathbf {F} } 的旋度场是无源场,也就是说 ∇ × F {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} } 的散度 处处为零[4] :18 :∇ ⋅ ( ∇ × F ) = 0. {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} )=0.}
F 的旋度场的旋度场则有公式[4] :14 :∇ × ( ∇ × F ) = ∇ ( ∇ ⋅ F ) − ∇ 2 F . {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} )-\nabla ^{2}\mathbf {F} .}
旋度的斯托克斯公式
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三维空间 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 中,设 Γ {\displaystyle \Gamma } 为分段光滑的空间有向闭曲线, S {\displaystyle S} 是以 Γ = ∂ S {\displaystyle \Gamma =\partial S} 为边界的分片光滑的有向曲面,Γ {\displaystyle \Gamma } 的正向与 S {\displaystyle S} 的侧符合右手规则,函数 P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) {\displaystyle P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)} 在曲面 S {\displaystyle S} (连同边界 Γ {\displaystyle \Gamma } 上具有一阶连续偏导数 ,则有
∬ S ( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) d y d z + ( ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x ) d z d x + ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y = ∮ Γ P d x + Q d y + R d z {\displaystyle \iint \limits _{S}\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\mathrm {d} z\,\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\oint \limits _{\Gamma }P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y+R\mathrm {d} z} 用旋度表示,就是[10] :71 :
∫ S ( ∇ × A ) ⋅ d S = ∮ ∂ S A ⋅ d l {\displaystyle \int _{S}({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\oint _{\partial S}\mathbf {A} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} } 这个公式是一般的斯托克斯公式(在n =2 时)的特例,在欧氏3维空间上的向量场 的旋度 的曲面积分和向量场在曲面边界上的线积分之间建立了联系。具体就是,向量场A 在某个曲面的封闭边界线上的闭合路径积分,等于A 的旋度场在这个曲面上的积分[10] :71 。
参考来源
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^ David K. Cheng,Field and wave electromagnetics ,Addison-Wesley publishing company,p49.
^ Proceedings of the London Mathematical Society, March 9th, 1871 (PDF) . [2019-06-25 ] . (原始内容存档 (PDF) 于2021-02-19).
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^ 6.0 6.1 6.2 Roel Snieder. A Guided Tour of Mathematical Methods: For the Physical Sciences. Cambridge University Press, 2, 插图版, 修订版. 2004. ISBN 9780521834926 (英语) .
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