罗德里格公式

罗德里格公式(英语:Rodrigues' formula),旧称为艾沃里–雅可比公式,是一个关于勒壤得多项式的公式,分别被 欧林 罗德里格 (1816詹姆斯 艾沃里 (1824卡尔 雅可比 (1827所独立发现。在埃尔米特于1865年指出罗德里格是第一个发现的人后,Heine在1878年建议使用“罗德里格公式”此名称。此名称亦被用于其它正交多项式的相似公式中。Askey (2005)详述了罗德里格公式的历史。

叙述

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 为一正交多项式序列,并满足以下条件:

 
其中  为权函数, 为与 有关之常数, 则是克罗内克δ函数。如果权函数 满足以下微分方程(又称Pearson微分方程):
 
其中  为次数最高为一的多项式, 为次数最高为二的多项式;且以下极限成立:
 
那么我们可以证明 满足以下递回关系式
 
其中 为常数。此关系式称为“罗形公式”或是简称为“罗德里格公式”[1]

罗形公式最常见的应用为勒壤得多项式拉盖尔多项式埃尔米特多项式

勒壤得多项式 ,罗德里格描述他的公式如下:

 

拉盖尔多项式通常被记为L0L1, ⋯⋯,其罗形公式可被写为:

 

埃尔米特多项式的罗德里格公式则为:

 

其他从史特姆-莱欧维尔方程所得之正交函数序列也有类似的公式,这些公式也被称为罗德里格公式(或是罗形公式),特别是所得函数为多项式时。

参考资料

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  1. ^ Rodrigues formula – Encyclopedia of Mathematics. www.encyclopediaofmath.org. [2018-04-18]. (原始内容存档于2018-04-18) (英语).