脈衝響應

在訊號處理中，脈衝響應（英語：Impulse response）一般是指系統在輸入為單位脈衝函數時的輸出（響應），是暫態響應中的一種。對於連續時間系統來說，脈衝響應一般用函數$h(t;\tau )$來表示，相對應的輸入訊號，也就是單位脈衝函數滿足狄拉克δ函數的形式，其函數定義如下：

$\delta (t)=0,t\neq 0$

並且，在從負無窮到正無窮區間內積分為1：

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1$

在輸入為狄拉克δ函數時，系統的脈衝響應$h(t)$包含了系統的所有資訊。所以對於任意輸入訊號$x(t)$，可以用連續域摺積的方法得出所對應的輸出$y(t)$。也就是：

$y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )h(t-\tau )\,d\tau =x(t)*h(t)$

對於離散時間系統來說，脈衝響應一般用序列$h[n]$來表示，相對應的離散輸入訊號，也就是單位脈波函數滿足克羅內克δ的形式，在訊號與系統科學中可以定義函數如下：

$\delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}$

同樣道理，在輸入為$\delta [n]$時，離散系統的脈衝響應$h[n]$包含了系統的所有資訊。所以對於任意輸入訊號$x[n]$，可以用離散域摺積（求和）的方法得出所對應的輸出訊號$y[n]$。也就是：

$y[n]=\sum _{k=0}^{\infty }x[k]h[n-k]$

參見

• 狄拉克δ函數
• 線性系統
• 傳遞函數
• 瞬態響應