納里奇(Narici )與貝肯斯坦(Beckenstein )書中,稱阿勞格魯定理為「非常重要的結果——也許是關於弱*拓撲 唯一(the )最重要的事——迴響傳遍泛函分析。」1912年,赫利(Helly )證明,閉區間上連續函數的空間C ( [ a , b ] ) {\displaystyle C([a,b])} ,其連續對偶空間的單位球,為弱*可數緊 。1932年,斯特凡·巴拿赫 證明,任何可分 賦範向量空間 的連續對偶中,閉單位球必為弱*序列緊 (他僅考慮了序列緊 )。
一般情況的證明,是由列奧尼達·阿勞格魯 於1940年發表。納里奇與貝肯斯坦書中,引述Pietsch [2007]指,至少有12個數學家可以主張自己證明此定理或某個重要前身。
布爾巴基-阿勞格魯定理 (英語:Bourbaki–Alaoglu theorem )是尼古拉·布爾巴基 將原定理推廣[4] [5] 到局部凸空間 的對偶拓撲 的結果。此定理亦稱為巴拿赫-阿勞格魯定理 或弱*緊定理 (英語:weak-* compactness theorem ),也常簡稱為阿勞格魯定理 (英語:Alaoglu theorem )。
一般敍述
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對於域 K {\displaystyle \mathbb {K} } 上的向量空間X {\displaystyle X} ,以X # {\displaystyle X^{\#}} 表示其代數對偶 (所有線性泛函組成的空間)。兩者由雙線性 求值映射⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : X × X # → K {\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :X\times X^{\#}\to \mathbb {K} } 所聯繫,該映射由
⟨ x , f ⟩ := f ( x ) {\displaystyle \left\langle x,f\right\rangle :=f(x)} 定義。所以,三元組⟨ X , X # ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle } (兩個空間及一個映射)組成對偶系 ,稱為典範對偶系 。
若X {\displaystyle X} 進一步具有拓撲 ,即為拓撲向量空間 (TVS),則可分辨其上的函數連續 與否,並定義其連續對偶 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 為代數對偶X # {\displaystyle X^{\#}} 中,連續泛函組成的子集。以σ ( X # , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)} 表示X # {\displaystyle X^{\#}} 上的弱*拓撲 。類似有σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} 是X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 上的弱*拓撲。
弱*拓撲又稱逐點收斂拓撲 ,因為給定映射f {\displaystyle f} 和一網 映射f ∙ = ( f i ) i ∈ I {\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}} ,網f ∙ {\displaystyle f_{\bullet }} 在弱*拓撲中收斂至f {\displaystyle f} ,當且僅當對定義域中每點x {\displaystyle x} ,函數值組成的網( f i ( x ) ) i ∈ I {\displaystyle \left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}} 收斂到f ( x ) {\displaystyle f(x)} 。
阿勞格魯定理
設X {\displaystyle X} 為任意拓撲向量空間 (無需豪斯多夫 或局部凸 ),X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 為其連續對偶 ,則對於X {\displaystyle X} 中原點的任何鄰域 U {\displaystyle U} (0 ∈ U ⊆ X {\displaystyle 0\in U\subseteq X} ),其極集
U ∘ = { x ′ ∈ X ′ : sup x ∈ U | x ′ ( x ) | ≤ 1 } ⊆ X ′ , {\displaystyle U^{\circ }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{x\in U}\left|x^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}\subseteq X',} 在X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 上的弱*拓撲 [註 1] σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} 中,必為緊集。
此外,U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 亦是U {\displaystyle U} 相對於典範對偶系⟨ X , X # ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle } 的極集,在拓撲空間( X # , σ ( X # , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)} 同樣為緊。
賦範特例
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若X {\displaystyle X} 為賦範向量空間 ,則原點鄰域的極集,在對偶空間中為閉,且其範數有上界。特別地,若U {\displaystyle U} 為X {\displaystyle X} 的開(或閉)單位球,則U {\displaystyle U} 的極集為連續對偶空間X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 的閉單位球(對偶空間配備平常的對偶範數 )。此時,定理化為以下特例:
巴拿赫-阿勞格魯定理
若X {\displaystyle X} 為賦範空間,則連續對偶空間X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 中,算子範數 的閉單位球,為弱*拓撲 中的緊集。
當X {\displaystyle X} 的連續對偶X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 是無窮維賦範空間時,X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 中的閉單位球,不可能是平常範數拓撲的緊集。原因是,範數拓撲的閉單位球為緊,當且僅當空間為有限維(見F·里斯定理 )。此定理顯示出,在同一個向量空間上,考慮不同的拓撲,到㡳有何用。
但注意,巴拿赫-阿勞格魯定理並不推出弱*拓撲為局部緊 ,因為僅知閉單位球在強拓撲 中為原點的鄰域,在弱*拓撲中則不一定。弱*拓撲中,單位球的內部 可能為空,除非空間為有限維。實際上,韋伊 證明,局部緊 的豪斯多夫 拓撲向量空間必為有限維。
對偶理論證明
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記X {\displaystyle X} 的基域為K {\displaystyle \mathbb {K} } ,此處為實數域 R {\displaystyle \mathbb {R} } 或複數域 C {\displaystyle \mathbb {C} } 。證明會用到極集 、對偶系 、連續線性算子 的基本性質,可參見該些條目,以下亦會簡單提及。
先列舉一些常見定義和性質。當代數對偶X # {\displaystyle X^{\#}} 配備弱*拓撲 σ ( X # , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)} 時,為一個豪斯多夫 局部凸 拓撲向量空間,記為( X # , σ ( X # , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)} 。空間( X # , σ ( X # , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)} 總是完備 ,但連續對偶( X ′ , σ ( X ′ , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)} 則不一定,此即證明需牽涉( X # , σ ( X # , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)} 的原因。具體而言,本證明用到的性質是:完備豪斯多夫空間的子集為緊,當且僅當其為閉,且完全有界 。注意X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 從( X # , σ ( X # , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)} 繼承的子空間拓撲 ,等於弱*拓撲σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} 。為驗證此事,只需檢查對每個x ′ ∈ X ′ {\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }} ,X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 中的網 在其中一個拓撲中收斂到x ′ {\displaystyle x^{\prime }} ,當且僅當在另一個拓撲中亦然(因為兩個拓撲結構相等,當且僅當其具有的收斂網完全一樣)。
三元組⟨ X , X ′ ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle } 也是對偶對 (有雙線性映射( x , f ) ↦ f ( x ) {\displaystyle (x,f)\mapsto f(x)} ),但與⟨ X , X # ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle } 不同,前者一般而言未必是對偶系。以下定義極集時,會註明是對於何種對偶而言。
設U {\displaystyle U} 為X {\displaystyle X} 原點的鄰域,又設:
U ∘ = { f ∈ X ′ : sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1 } {\displaystyle U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}} 為U {\displaystyle U} 相對⟨ X , X ′ ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle } 的極集;
U ∘ ∘ = { x ∈ X : sup f ∈ U ∘ | f ( x ) | ≤ 1 } {\displaystyle U^{\circ \circ }=\left\{x\in X~:~\sup _{f\in U^{\circ }}|f(x)|\leq 1\right\}} 為U {\displaystyle U} 相對⟨ X , X ′ ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle } 的二重極集 ;
U # = { f ∈ X # : sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1 } {\displaystyle U^{\#}=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}} 為U {\displaystyle U} 相對⟨ X , X # ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle } 的極集。極集的基本性質有U ∘ ∘ ∘ ⊆ U ∘ {\displaystyle U^{\circ \circ \circ }\subseteq U^{\circ }} 。
下證巴拿赫-阿勞格魯定理,分若干步:
先證U # {\displaystyle U^{\#}} 在拓撲σ ( X # , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)} 中為X # {\displaystyle X^{\#}} 的閉子集:設f ∈ X # {\displaystyle f\in X^{\#}} ,又假設f ∙ = ( f i ) i ∈ I {\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}} 為U # {\displaystyle U^{\#}} 中的網,在( X # , σ ( X # , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)} 中收斂到f {\displaystyle f} 。欲證f ∈ U # {\displaystyle f\in U^{\#}} ,即| f ( u ) | ≤ 1 {\displaystyle |f(u)|\leq 1} 對任意u ∈ U {\displaystyle u\in U} 皆成立。因為在純量域K {\displaystyle \mathbb {K} } 中,f i ( u ) → f ( u ) {\displaystyle f_{i}(u)\to f(u)} ,而每個值f i ( u ) {\displaystyle f_{i}(u)} 皆屬於(K {\displaystyle \mathbb {K} } 的)閉子集{ s ∈ K : | s | ≤ 1 } {\displaystyle \left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\}} ,故網的極限f ( u ) {\displaystyle f(u)} 亦必在該子集中。於是| f ( u ) | ≤ 1 {\displaystyle |f(u)|\leq 1} 。
其次,欲證U # = U ∘ {\displaystyle U^{\#}=U^{\circ }} ,以推出U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 既是( X # , σ ( X # , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)} 的閉子集,亦是( X ′ , σ ( X ′ , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)} 的閉子集:有包含關係U ∘ ⊆ U # {\displaystyle U^{\circ }\subseteq U^{\#}} ,因為連續線性泛函尤其是線性泛函。反之,欲證U # ⊆ U ∘ {\displaystyle \,U^{\#}\subseteq U^{\circ }} ,設f ∈ U # {\displaystyle f\in U^{\#}} 滿足sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1 {\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1} ,換言之線性泛函f {\displaystyle f} 在鄰域U {\displaystyle U} 上有界,而泛函有界 等價於連續 ,故f ∈ X ′ {\displaystyle f\in X^{\prime }} ,從而f ∈ U ∘ {\displaystyle f\in U^{\circ }} ,即所求證。用第1步,結合交集U # ∩ X ′ = U ∘ ∩ X ′ = U ∘ {\displaystyle U^{\#}\cap X^{\prime }=U^{\circ }\cap X^{\prime }=U^{\circ }} 在X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 的子空間拓撲中為閉,推得U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 為閉。
欲證U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 對X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 的σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} 拓撲而言是完全有界 子集:由二重極集定理 ,U ⊆ U ∘ ∘ {\displaystyle U\subseteq U^{\circ \circ }} ,又因為鄰域U {\displaystyle U} 為X {\displaystyle X} 中的吸收集 ,U ∘ ∘ {\displaystyle U^{\circ \circ }} 亦同。可以證明,此結論推出U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 是X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 對σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} 而言的有界子集 。由於X {\displaystyle X} 分辨 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 各點,X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 的子集在σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} 意義下有界,當且僅當在同樣意義下完全有界 。所以,尤其有U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 在σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} 意義下完全有界。
欲證U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 亦為X # {\displaystyle X^{\#}} 在σ ( X # , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)} 拓撲下的完全有界子集:已知X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 上,σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} 拓撲等於X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 從( X # , σ ( X # , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)} 繼承的子空間拓撲,結合第3步與「完全有界」的定義,即推出U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 為X # {\displaystyle X^{\#}} 在σ ( X # , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)} 拓撲下的完全有界子集。
最後,欲證U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 為X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 在σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} 拓撲下的緊子集:因為( X # , σ ( X # , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)} 為完備拓撲向量空間 ,又U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 為其閉(第2步)而完全有界(第4步)的子集,所以U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 為緊。定理證畢 。 較初等的證明
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以下證明,僅用到集合論、點集拓撲、泛函分析的基本概念。拓撲方面,需要熟悉使用拓撲空間 中的網 、積拓撲 、兩者與逐點收斂 的關聯(為方便起見,證明中也會給出部分細節)。同時也要瞭解,線性泛函為連續,當且僅當其在原點的某個鄰域上有界(見次線性泛函 )。
設向量空間X {\displaystyle X} 的基域為K {\displaystyle \mathbb {K} } ,為實數系 R {\displaystyle \mathbb {R} } 或複數系 C {\displaystyle \mathbb {C} } 兩者之一。對任意實數r {\displaystyle r} ,以
B r := { s ∈ K : | s | ≤ r } {\displaystyle B_{r}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}} 表示以原點為球心,半徑為r {\displaystyle r} 的閉球。在K {\displaystyle \mathbb {K} } 中,此為緊的 閉集 。
極集的等價表示
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由於U {\displaystyle U} 是X {\displaystyle X} 中原點的鄰域,可知U {\displaystyle U} 亦是X {\displaystyle X} 的吸收集 ,即對每個x ∈ X {\displaystyle x\in X} ,皆有正實數r x > 0 {\displaystyle r_{x}>0} 使x ∈ r x U := { r x u : u ∈ U } {\displaystyle x\in r_{x}U:=\left\{r_{x}u:u\in U\right\}} 。以
U # := { f ∈ X # : sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1 } = { f ∈ X # : f ( U ) ⊆ B 1 } {\displaystyle U^{\#}:=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}~=~\left\{f\in X^{\#}~:~f(U)\subseteq B_{1}\right\}} 表示U {\displaystyle U} 相對典範對偶系⟨ X , X # ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle } 的極集。將證明,此極集U # {\displaystyle U^{\#}} ,與定理提到,U {\displaystyle U} 相對⟨ X , X ′ ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle } 的極集U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} ,兩者相等。
U ∘ ⊆ U # {\displaystyle U^{\circ }\subseteq U^{\#}} 成立,是因為連續線性泛函按定義必是線性泛函。反之,欲證U # ⊆ U ∘ {\displaystyle U^{\#}\subseteq U^{\circ }} ,設f ∈ U # {\displaystyle f\in U^{\#}} 滿足sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1 {\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1} ,即線性泛函f {\displaystyle f} 在鄰域U {\displaystyle U} 上有界 。所以f {\displaystyle f} 是連續線性算子 (換言之f ∈ X ′ {\displaystyle f\in X^{\prime }} ),從而有f ∈ U ∘ {\displaystyle f\in U^{\circ }} ,即所求證。
至此,已證明U ∘ = U # {\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}} [註 2] ,餘下的證明中,需理解笛卡兒積 ∏ x ∈ X K {\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} } 與所有X → K {\displaystyle X\to \mathbb {K} } 的映射構成的空間K X {\displaystyle \mathbb {K} ^{X}} 等同。仍需證明以下兩個命題:
U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 為K X {\displaystyle \mathbb {K} ^{X}} 的閉子集。
此處K X = ∏ x ∈ X K {\displaystyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} } 配備的是逐點收斂拓撲,等同於積拓撲 。
U ∘ ⊆ ∏ x ∈ X B r x . {\displaystyle U^{\circ }\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}
其中B r x ⊆ K {\displaystyle B_{r_{x}}\subseteq \mathbb {K} } 表示以原點0 {\displaystyle 0} 為球心,r x {\displaystyle r_{x}} 為半徑的閉球。本證明開始時,對每個x ∈ X {\displaystyle x\in X} , 已定義r x {\displaystyle r_{x}} 為使x ∈ r x U {\displaystyle x\in r_{x}U} 的任意一個實數r x > 0 {\displaystyle r_{x}>0} 。特別地,對於u ∈ U {\displaystyle u\in U} ,可以選r u := 1 {\displaystyle r_{u}:=1} 。 以上命題推出,U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 為∏ x ∈ X B r x {\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}} 的閉子集,而由吉洪諾夫定理 ,該積空間 為緊[註 3] (因為每個閉球B r x {\displaystyle B_{r_{x}}} 皆為緊)。因為緊空間的閉子集仍為緊,所以有U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 為緊集,從而證畢巴拿赫-阿勞格魯定理的主要結論。
極集為閉
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以下證明前述 命題1。代數對偶X # {\displaystyle X^{\#}} 總是積空間K X = ∏ x ∈ X K {\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} } 的閉子集[註 4] 。要證明U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 在K X {\displaystyle \mathbb {K} ^{X}} 中為閉,祇需證明集合
U ~ ∘ := { f ∈ K X : sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1 } {\displaystyle {\widetilde {U}}^{\circ }~:=~\left\{f\in \mathbb {K} ^{X}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}} 是K X {\displaystyle \mathbb {K} ^{X}} 的閉子集,因為若有此結論,則U ~ ∘ ∩ X # = U # = U ∘ {\displaystyle {\widetilde {U}}^{\circ }\cap X^{\#}=U^{\#}=U^{\circ }} 是K X {\displaystyle \mathbb {K} ^{X}} 中兩閉集之交,故亦為閉集。
設f ∈ K X {\displaystyle f\in \mathbb {K} ^{X}} ,又設f ∙ = ( f i ) i ∈ I {\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}} 為U ~ ∘ {\displaystyle {\widetilde {U}}^{\circ }} 中的網,在K X {\displaystyle \mathbb {K} ^{X}} 中收斂到f {\displaystyle f} 。需要證明f ∈ U ~ ∘ {\displaystyle f\in {\widetilde {U}}^{\circ }} 。換言之,要證對每個u ∈ U {\displaystyle u\in U} ,| f ( u ) | ≤ 1 {\displaystyle |f(u)|\leq 1} (或等價寫成f ( u ) ∈ B 1 {\displaystyle f(u)\in B_{1}} )。由於在純量域K {\displaystyle \mathbb {K} } 中,( f i ( u ) ) i ∈ I → f ( u ) {\displaystyle \left(f_{i}(u)\right)_{i\in I}\to f(u)} ,且每項f i ( u ) {\displaystyle f_{i}(u)} 皆屬於K {\displaystyle \mathbb {K} } 中的閉子集B 1 = { s ∈ K : | s | ≤ 1 } {\displaystyle B_{1}=\left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\}} ,此網的極限f ( u ) {\displaystyle f(u)} 亦必屬於該閉集,即f ( u ) ∈ B 1 {\displaystyle f(u)\in B_{1}} 。證畢命題1。
上述證明可以推廣,以論證以下命題:
設U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 為任意集合,B ⊆ Y {\displaystyle B\subseteq Y} 為拓撲空間Y {\displaystyle Y} 的閉子集 ,則在Y X {\displaystyle Y^{X}} 的逐點收斂拓撲中,P U := { f ∈ Y X : f ( U ) ⊆ B } {\displaystyle P_{U}:=\left\{f\in Y^{X}~:~f(U)\subseteq B\right\}} 為閉子集。
命題1為其特殊情況,取Y := K {\displaystyle Y:=\mathbb {K} } 和B := B 1 {\displaystyle B:=B_{1}} 便得。
極集包含於緊空間之積
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以下證明前述 命題2。對任意z ∈ X {\displaystyle z\in X} ,以Pr z : ∏ x ∈ X K → K {\textstyle \Pr {}_{z}:\prod _{x\in X}\mathbb {K} \to \mathbb {K} } 表示到第z {\displaystyle z} 個坐標的投影 。欲證U ∘ ⊆ ∏ x ∈ X B r x {\textstyle U^{\circ }\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}} 。換言之,欲對每個x ∈ X {\displaystyle x\in X} ,證明Pr x ( U ∘ ) ⊆ B r x {\displaystyle \Pr {}_{x}(U^{\circ })\subseteq B_{r_{x}}} 。
於是選定x ∈ X {\displaystyle x\in X} ,設f ∈ U ∘ {\displaystyle f\in U^{\circ }} ;要證Pr x ( f ) := f ( x ) ∈ B r x {\displaystyle \Pr {}_{x}(f):=f(x)\in B_{r_{x}}} 。由r x {\displaystyle r_{x}} 的定義,x ∈ r x U {\displaystyle x\in r_{x}U} ,故u x := ( 1 r x ) x ∈ U {\textstyle \,u_{x}:=\left({\frac {1}{r_{x}}}\right)x\in U} 。因為f ∈ U ∘ = U # {\displaystyle f\in U^{\circ }=U^{\#}} ,線性泛函f {\displaystyle f} 滿足sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1 {\textstyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1} ,所以由u x ∈ U {\displaystyle u_{x}\in U} ,可知
1 r x | f ( x ) | = | 1 r x f ( x ) | = | f ( 1 r x x ) | = | f ( u x ) | ≤ sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1. {\displaystyle {\frac {1}{r_{x}}}|f(x)|=\left|{\frac {1}{r_{x}}}f(x)\right|=\left|f\left({\frac {1}{r_{x}}}x\right)\right|=\left|f\left(u_{x}\right)\right|\leq \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1.} 所以| f ( x ) | ≤ r x {\displaystyle |f(x)|\leq r_{x}} ,即f ( x ) ∈ B r x {\displaystyle f(x)\in B_{r_{x}}} ,證畢命題2。
序列版本
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巴拿赫-阿勞格魯定理有個特殊情況,對可分空間 使用,並將「緊 」換成「序列緊 」。此時定理斷言:
可分 賦範向量空間的對偶中,閉單位球在弱*拓撲下是序列緊 。
實際上,可分空間的對偶的閉單位球上,弱*拓撲可度量 ,故緊與序列緊等價。
明確而言,設X {\displaystyle X} 為可分賦範向量空間,而B {\displaystyle B} 為連續對偶X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 中的閉單位球。根據X {\displaystyle X} 可分的定義,有某個可數稠密子集,列舉為x ∙ = ( x n ) n = 1 ∞ {\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }} 。則下式定義一個度量 :對於x , y ∈ B {\displaystyle x,y\in B} ,
ρ ( x , y ) = ∑ n = 1 ∞ 2 − n | ⟨ x − y , x n ⟩ | 1 + | ⟨ x − y , x n ⟩ | , {\displaystyle \rho (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }\,2^{-n}\,{\frac {\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}{1+\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|,}}} 其中⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } 表示X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 與X {\displaystyle X} 的對偶匹配,即將後一個元素代入到前一個元素求值。此度量下,B {\displaystyle B} 為序列緊之事,用類似阿爾澤拉-阿斯科利定理 的對角線證法,即可證明。
由於證明本質為構造性 (而非如一般情況,用到非構造性的選擇公理),在偏微分方程 學中,有時使用序列巴拿赫-阿勞格魯定理,構造偏微分方程或變分問題 的解。舉例,若有某個可分賦範空間X {\displaystyle X} ,其對偶上有泛函F : X ′ → R {\displaystyle F:X^{\prime }\to \mathbb {R} } ,欲求最小值,則常見策略是先構造序列x 1 , x 2 , … ∈ X ′ {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots \in X^{\prime }} ,使F {\displaystyle F} 的泛函值趨向下確界,然後訴諸序列巴拿赫-阿勞格魯定理,取出子序列( x n k ) k {\displaystyle (x_{n_{k}})_{k}} ,在弱*拓撲下收斂到極限x {\displaystyle x} ,並確定x {\displaystyle x} 使F {\displaystyle F} 取最小值。最後一步通常要求F {\displaystyle F} 在弱*拓撲下為(序列)下半連續 。
考慮另一個例子,設X = C 0 ( R ) {\displaystyle X=C_{0}(\mathbb {R} )} 為實軸上,在無窮遠處消失 的連續函數組成的空間,則由里斯-馬可夫表示定理 ,X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 為實軸上全體有限拉東測度 的空間。此時序列巴拿赫-阿勞格魯定理等價於赫利選擇定理 。
下證序列版本的巴拿赫-阿勞格魯定理。
對每個x ∈ X {\displaystyle x\in X} ,設
D x = { z ∈ C : | z | ≤ ‖ x ‖ } , {\displaystyle D_{x}=\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq \|x\|\},} 以及
D = ∏ x ∈ X D x . {\displaystyle D=\prod _{x\in X}D_{x}.} 因為D x {\displaystyle D_{x}} 是複平面的緊子集,D {\displaystyle D} 在積拓撲 中亦為緊(根據吉洪諾夫定理 )。
X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 中的閉單位球B 1 ( X ′ ) {\displaystyle B_{1}\left(X^{\prime }\right)} ,可以自然地看成D {\displaystyle D} 的子空間:考慮映射
f ∈ B 1 ( X ′ ) ↦ ( f ( x ) ) x ∈ X ∈ D , {\displaystyle f\in B_{1}\left(X^{\prime }\right)\mapsto (f(x))_{x\in X}\in D,} 其為單射,且對於B 1 ( X ′ ) {\displaystyle B_{1}\left(X^{\prime }\right)} 的弱*拓撲和D {\displaystyle D} 的積拓撲而言,是連續映射。在像集上,映射的逆也連續。
欲完成定理的證明,只需證明映射的像為閉集。給定網D {\displaystyle D} 中的網
( f α ( x ) ) x ∈ X → ( λ x ) x ∈ X , {\displaystyle \left(f_{\alpha }(x)\right)_{x\in X}\to \left(\lambda _{x}\right)_{x\in X},} 等式g ( x ) = λ x {\displaystyle g(x)=\lambda _{x}} 定義的泛函g {\displaystyle g} ,也在B 1 ( X ′ ) {\displaystyle B_{1}(X^{\prime })} 中。定理證畢。
與選擇公理的關係
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通常,會用到吉洪諾夫定理 來證明巴拿赫-阿勞格魯定理,所以要依賴於ZFC 公理系統,尤其是選擇公理 。主流泛函分析中,許多結果皆依賴選擇公理。然而,本定理在可分空間的情況(見§ 序列版本 )並不依賴選擇公理,該情況下有構造性證明 。對於不可分的情況,超濾子引理 比選擇公理嚴格弱,但亦足以證明巴拿赫-阿勞格魯定理。反之,巴拿赫-阿勞格魯定理也推出超濾子引理,所以兩者等價。
參考資料
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Köthe, Gottfried. Topological Vector Spaces I [拓撲向量空間一]. New York: Springer-Verlag. 1969 (英語) . 見§20.9。
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