扁球面坐標系 (英語:Oblate spheroidal coordinates )是一種三維正交坐標系 。設定二維橢圓坐標系 包含於xz-平面;兩個焦點F 1 {\displaystyle F_{1}} 與F 2 {\displaystyle F_{2}} 的直角坐標 分別為( − a , 0 , 0 ) {\displaystyle (-a,\ 0,\ 0)} 與( a , 0 , 0 ) {\displaystyle (a,\ 0,\ 0)} 。將橢圓坐標系繞著z-軸旋轉,則可以得到扁球面坐標系。(假若,繞著y-軸旋轉,則可以得到長球面坐標系 。)橢圓坐標系的兩個焦點,變為一個半徑為a {\displaystyle a} 的圓圈,包含於三維空間的xy-平面。稱這圓圈為焦圓 ,又稱為參考圓 。扁球面坐標系可以被視為橢球坐標系 的極限案例,其兩個最大的半軸的長度相同。
圖1)扁球面坐標系的幾個坐標曲面 。紅色扁球面的μ = 1 {\displaystyle \mu =1} 。藍色半雙曲面的ν = 45 ∘ {\displaystyle \nu =45^{\circ }} 。黃色半平面的ϕ = − 60 ∘ {\displaystyle \phi =-60^{\circ }} (黃色半平面與xz-半平面之間的二面角 角度是− 60 ∘ {\displaystyle -60^{\circ }} )。z-軸是垂直的,以白色表示。x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點P(以黑色的圓球表示),直角坐標 大約為( 1.09 , − 1.89 , 1.66 ) {\displaystyle (1.09,\ -1.89,\ 1.66)} 。 圖2)橢圓坐標系繪圖。橫軸是x-軸,豎軸是z-軸。紅色橢圓(μ {\displaystyle \mu } -等值線)變成上圖的紅色扁球面(μ {\displaystyle \mu } 坐標曲面),而x > 0 {\displaystyle x>0} 青藍色雙曲線(ν {\displaystyle \nu } -等值線)則變成藍色半雙曲面(ν {\displaystyle \nu } 坐標曲面)。 當邊界條件涉及扁球面 或旋轉雙曲面 時,扁球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式 。例如,關於佩蘭摩擦因子 (Perrin friction factors )的計算,扁球面坐標扮演了極重要的角色。讓·佩蘭 因此而榮獲1926年諾貝爾物理獎 。佩蘭摩擦因子決定了分子 的旋轉擴散 (rotational diffusion )。這程序又影響了許多科技,像蛋白質 核磁共振 光譜學 (protein NMR ),的可行性。應用這程序,我們可以推論分子的流體動力 體積與形狀。扁球面坐標也時常用來解析電磁學 (例如,扁球形帶電的分子的電容率 ),聲學 (例如,聲音通過圓孔時產生的散射),流體動力學 (水通過消防水帶的噴口),擴散理論 (紅熱的錢幣在水裏的冷卻),等等方面的問題。
第一種表述
編輯
在三維空間裏,一個點P的扁球面坐標( μ , ν , ϕ ) {\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )} 常見的定義是
x = a cosh μ cos ν cos ϕ {\displaystyle x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \cos \phi } 、
y = a cosh μ cos ν sin ϕ {\displaystyle y=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \sin \phi } 、
z = a sinh μ sin ν {\displaystyle z=a\ \sinh \mu \ \sin \nu } 。其中,μ ≥ 0 {\displaystyle \mu \geq 0} 是個實數,角度− 90 ∘ ≤ ν ≤ 90 ∘ {\displaystyle -90^{\circ }\leq \nu \leq 90^{\circ }} ,角度− 180 ∘ ≤ ϕ ≤ 180 ∘ {\displaystyle -180^{\circ }\leq \phi \leq 180^{\circ }} 。
學術界比較中意這一種扁球面坐標,因為沒有簡併 ;三維空間內每一點都擁有自己獨特的扁球面坐標。
坐標曲面
編輯
μ {\displaystyle \mu } 坐標曲面是扁球面 :
x 2 + y 2 a 2 cosh 2 μ + z 2 a 2 sinh 2 μ = cos 2 ν + sin 2 ν = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1} 。它們是由橢圓繞著z-軸旋轉形成的。橢球面與xz-平面的相交,是一個的橢圓。沿著x-軸,長半軸長度為a cosh μ {\displaystyle a\cosh \mu } ,沿著z-軸,短半軸長度為a sinh μ {\displaystyle a\sinh \mu } 。橢圓的焦點都包含於x-軸,x-坐標分別為± a {\displaystyle \pm a} 。
ν {\displaystyle \nu } 坐標曲面是半個單葉旋轉雙曲面 :
x 2 + y 2 a 2 cos 2 ν − z 2 a 2 sin 2 ν = cosh 2 μ − sinh 2 μ = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1} 。假若ν {\displaystyle \nu } 是正值,z {\displaystyle z} 也是正值,這半個單葉旋轉雙曲面在xy-平面以上;假若是負值,則在xy-平面以下。ν {\displaystyle \nu } 是雙曲線的漸近線 的角度。所有雙曲線的焦點都在x-軸,x-坐標分別為± a {\displaystyle \pm a} 。
ϕ {\displaystyle \phi } 坐標曲面是個半平面 :
x sin ϕ − y cos ϕ = 0 {\displaystyle x\sin \phi -y\cos \phi =0} 。
用直角坐標( x , y , z ) {\displaystyle (x,\ y,\ z)} 來計算扁球面坐標( μ , ν , ϕ ) {\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )} ,方位角ϕ {\displaystyle \phi } 的公式為
tan ϕ = y x {\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}} 。設定d 1 {\displaystyle d_{1}} 與d 2 {\displaystyle d_{2}} 分別為點P與焦圓的最遠距離與最近距離,以方程式表示為
d 1 2 = ( x 2 + y 2 + a ) 2 + z 2 {\displaystyle d_{1}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+a)^{2}+z^{2}} 、
d 2 2 = ( x 2 + y 2 − a ) 2 + z 2 {\displaystyle d_{2}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a)^{2}+z^{2}} 。坐標μ {\displaystyle \mu } 和ν {\displaystyle \nu } 的方程式分別為
cosh μ = d 1 + d 2 2 a {\displaystyle \cosh \mu ={\frac {d_{1}+d_{2}}{2a}}} 、
cos ν = d 1 − d 2 2 a {\displaystyle \cos \nu ={\frac {d_{1}-d_{2}}{2a}}} 。標度因子
編輯
扁球面坐標μ {\displaystyle \mu } 與ν {\displaystyle \nu } 的標度因子相等:
h μ = h ν = a sinh 2 μ + sin 2 ν {\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}} 。方位角ϕ {\displaystyle \phi } 的標度因子為
h ϕ = a cosh μ cos ν {\displaystyle h_{\phi }=a\cosh \mu \ \cos \nu } 。無窮小體積元素是
d V = a 3 cosh μ cos ν ( sinh 2 μ + sin 2 ν ) d μ d ν d ϕ {\displaystyle dV=a^{3}\cosh \mu \ \cos \nu \ \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu d\phi } 。拉普拉斯算子 是
∇ 2 Φ = 1 a 2 ( sinh 2 μ + sin 2 ν ) [ 1 cosh μ ∂ ∂ μ ( cosh μ ∂ Φ ∂ μ ) + 1 cos ν ∂ ∂ ν ( cos ν ∂ Φ ∂ ν ) ] + 1 a 2 ( cosh 2 μ cos 2 ν ) ∂ 2 Φ ∂ ϕ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {1}{\cosh \mu }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left(\cosh \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right)+{\frac {1}{\cos \nu }}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left(\cos \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right)\right]+{\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu \cos ^{2}\nu \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}} 。其它微分算子,像∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } 、∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } ,都可以用( μ , ν , ϕ ) {\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )} 坐標表示,只要將標度因子代入在正交坐標系 條目內對應的一般公式。
第二種表述
編輯
另外有一組有時會用到的扁球面坐標( ζ , ξ , ϕ ) {\displaystyle (\zeta ,\ \xi ,\ \phi )} ;其中,ζ = sinh μ {\displaystyle \zeta =\sinh \mu } ,ξ = sin ν {\displaystyle \xi =\sin \nu } [1] 。ζ {\displaystyle \zeta } 坐標曲面是個扁球面,ξ {\displaystyle \xi } 坐標曲面是個旋轉雙曲面。從直角坐標變換至扁球面坐標:
x = a ( 1 + ζ 2 ) ( 1 − ξ 2 ) cos ϕ {\displaystyle x=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\cos \phi } 、
y = a ( 1 + ζ 2 ) ( 1 − ξ 2 ) sin ϕ {\displaystyle y=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\sin \phi } 、
z = a ζ ξ {\displaystyle z=a\zeta \xi } 。其中,實數0 ≤ ζ < ∞ {\displaystyle 0\leq \zeta <\infty } ,實數− 1 ≤ ξ < 1 {\displaystyle -1\leq \xi <1} ,角度− 180 ∘ ≤ ϕ ≤ 180 ∘ {\displaystyle -180^{\circ }\leq \phi \leq 180^{\circ }} 。
標度因子
編輯
扁球面坐標( ζ , ξ , ϕ ) {\displaystyle (\zeta ,\ \xi ,\ \phi )} 的標度因子分別為:
h ζ = a ζ 2 + ξ 2 1 + ζ 2 {\displaystyle h_{\zeta }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1+\zeta ^{2}}}}} 、
h ξ = a ζ 2 + ξ 2 1 − ξ 2 {\displaystyle h_{\xi }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}} 、
h ϕ = a ( 1 + ζ 2 ) ( 1 − ξ 2 ) {\displaystyle h_{\phi }=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}} 。無窮小體積元素是
d V = a 3 ( ζ 2 + ξ 2 ) d ζ d ξ d ϕ {\displaystyle dV=a^{3}(\zeta ^{2}+\xi ^{2})\,d\zeta \,d\xi \,d\phi } 。拉普拉斯算子 是
∇ 2 V = 1 a 2 ( ζ 2 + ξ 2 ) { ∂ ∂ ζ [ ( 1 + ζ 2 ) ∂ V ∂ ζ ] + ∂ ∂ ξ [ ( 1 − ξ 2 ) ∂ V ∂ ξ ] } + 1 a 2 ( 1 + ζ 2 ) ( 1 − ξ 2 ) ∂ 2 V ∂ ϕ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}V={\frac {1}{a^{2}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left[\left(1+\zeta ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left[\left(1-\xi ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(1+\zeta ^{2}\right)\left(1-\xi ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \phi ^{2}}}} 。 第三種表述
編輯
圖3)第三種扁球面坐標系( σ , τ , ϕ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )} 的三個坐標曲面 。紅色扁球面是σ {\displaystyle \sigma } 坐標曲面。藍色單葉雙曲面是τ {\displaystyle \tau } 坐標曲面。黃色半平面是ϕ {\displaystyle \phi } 坐標曲面 (黃色半平面與xz-半平面之間的二面角 角度是ϕ {\displaystyle \phi } )。z-軸是垂直的,以白色表示。x-軸以綠色表示。第三種扁球面坐標系有雙重簡併。這可以從三個坐標曲面的兩個相交點P1 ,P2 (以黑色的圓球表示)觀察到。 另外,還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系( σ , τ , ϕ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )} [2] :
σ = cosh μ {\displaystyle \sigma =\cosh \mu } 、
τ = cos ν {\displaystyle \tau =\cos \nu } 、
ϕ = ϕ {\displaystyle \phi =\phi } 。坐標σ {\displaystyle \sigma } 必須大於或等於1。坐標τ {\displaystyle \tau } 必須在正負1之間。σ {\displaystyle \sigma } 坐標曲面是扁球面。τ {\displaystyle \tau } 坐標曲面是單葉雙曲面,包含了對應於正負ν {\displaystyle \nu } 的半雙曲面。第三種坐標有雙重簡併:三維空間的兩點(直角坐標( x , y , ± z ) {\displaystyle (x,\ y,\ \pm z)} 映射至一組扁球面坐標系( σ , τ , ϕ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )} )。這雙重簡併可以從直角坐標變換至扁球面坐標的公式觀察到:
x = a σ τ cos ϕ {\displaystyle x=a\sigma \tau \cos \phi } 、
y = a σ τ sin ϕ {\displaystyle y=a\sigma \tau \sin \phi } 、
z 2 = a 2 ( σ 2 − 1 ) ( 1 − τ 2 ) {\displaystyle z^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)} 。坐標σ {\displaystyle \sigma } 與τ {\displaystyle \tau } 有一個簡單的公式來表達任何一點P與焦圓的最遠距離d 1 {\displaystyle d_{1}} ,最近距離d 2 {\displaystyle d_{2}} :
d 1 + d 2 = 2 a σ {\displaystyle d_{1}+d_{2}=2a\sigma } 、
d 1 − d 2 = 2 a τ {\displaystyle d_{1}-d_{2}=2a\tau } 。所以,點P與焦圓的最遠距離是a ( σ + τ ) {\displaystyle a(\sigma +\tau )} ,點P與焦圓的最近距離是a ( σ − τ ) {\displaystyle a(\sigma -\tau )} 。
坐標曲面
編輯
σ {\displaystyle \sigma } 坐標曲面是扁球面 :
x 2 + y 2 a 2 σ 2 + z 2 a 2 ( σ 2 − 1 ) = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sigma ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)}}=1} 。τ {\displaystyle \tau } 坐標曲面是單葉旋轉雙曲面 :
x 2 + y 2 a 2 τ 2 − z 2 a 2 ( 1 − τ 2 ) = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\tau ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(1-\tau ^{2}\right)}}=1} 。ϕ {\displaystyle \phi } 坐標曲面是半個平面 :
x sin ϕ − y cos ϕ = 0 {\displaystyle x\sin \phi -y\cos \phi =0} 。標度因子
編輯
扁球面坐標( σ , τ , ϕ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )} 的標度因子分別為:
h σ = a σ 2 + τ 2 σ 2 + 1 {\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{\sigma ^{2}+1}}}} 、
h τ = a σ 2 + τ 2 1 − τ 2 {\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}} 、
h ϕ = a σ τ {\displaystyle h_{\phi }=a\sigma \tau } 。無窮小體積元素是
d V = a 3 σ τ σ 2 + τ 2 ( σ 2 + 1 ) ( 1 − τ 2 ) d σ d τ d ϕ {\displaystyle dV=a^{3}\sigma \tau {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}+1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau d\phi } 。拉普拉斯算子 是
∇ 2 Φ = 1 a 2 ( σ 2 + τ 2 ) { ∂ ∂ σ [ ( σ 2 + 1 ) ∂ Φ ∂ σ ] + ∂ ∂ τ [ ( 1 − τ 2 ) ∂ Φ ∂ τ ] } + 1 a 2 ( σ 2 + 1 ) ( 1 − τ 2 ) ∂ 2 Φ ∂ ϕ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma ^{2}+1\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(1-\tau ^{2}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}+1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}} 。其它微分算子,像∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } 、∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } ,都可以用( σ , τ , z ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)} 坐標表示,只要將標度因子代入在正交坐標系 條目內對應的一般公式。
如同球坐標 解答的形式為球諧函數 ,拉普拉斯方程 可以用分離變數法來求解,得到形式為扁球諧函數 的答案。假若,邊界條件涉及扁球面,我們可以優先選擇這方法來解析。
參考文獻
編輯
^ Smythe, 1968。
^ Abramowitz and Stegun, p. 752。
參考目錄
編輯
不按照命名常規
編輯
Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 662. 採用ξ 1 = a sinh μ {\displaystyle \xi _{1}=a\sinh \mu } 、ξ 2 = sin ν {\displaystyle \xi _{2}=\sin \nu } 、ξ 3 = cos ϕ {\displaystyle \xi _{3}=\cos \phi } 。Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 115. ISBN 0-86720-293-9 . 如同Morse & Feshbach (1953),採用u k {\displaystyle u_{k}} 來替代ξ k {\displaystyle \xi _{k}} 。Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968. Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 98. 採用混合坐標ξ = a sinh μ {\displaystyle \xi =a\sinh \mu } 、η = sin ν {\displaystyle \eta =\sin \nu } 、ϕ = ϕ {\displaystyle \phi =\phi } 。按照命名常規
編輯
Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177. 採用第一種表述( μ , ν , ϕ ) {\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )} ,又加介紹了簡併的第三種表述( σ , τ , ϕ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )} 。Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 182. 如同Korn and Korn (1961),但採用餘緯度 θ = 90 ∘ − ν {\displaystyle \theta =90^{\circ }-\nu } 來替代緯度 ν {\displaystyle \nu } 。Moon PH, Spencer DE. Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 31–34 (Table 1.07). ISBN 0-387-02732-7 . Moon and Spencer採用餘緯度常規θ = 90 ∘ − ν {\displaystyle \theta =90^{\circ }-\nu } ,又改名ϕ {\displaystyle \phi } 為ψ {\displaystyle \psi } 。特異命名常規
編輯
Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347 . 視扁球面坐標系為橢球坐標系的極限。採用第二種表述。