扁球面坐標系

扁球面坐標系（英語：Oblate spheroidal coordinates）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於xz-平面；兩個焦點$F_{1}$與$F_{2}$的直角坐標分別為$(-a,\ 0,\ 0)$與$(a,\ 0,\ 0)$。將橢圓坐標系繞著z-軸旋轉，則可以得到扁球面坐標系。（假若，繞著y-軸旋轉，則可以得到長球面坐標系。）橢圓坐標系的兩個焦點，變為一個半徑為$a$的圓圈，包含於三維空間的xy-平面。稱這圓圈為焦圓，又稱為參考圓。扁球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例，其兩個最大的半軸的長度相同。

圖1）扁球面坐標系的幾個坐標曲面。紅色扁球面的$\mu =1$。藍色半雙曲面的$\nu =45^{\circ }$。黃色半平面的$\phi =-60^{\circ }$（黃色半平面與xz-半平面之間的二面角角度是$-60^{\circ }$）。z-軸是垂直的，以白色表示。x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點P（以黑色的圓球表示），直角坐標大約為$(1.09,\ -1.89,\ 1.66)$。

圖2）橢圓坐標系繪圖。橫軸是x-軸，豎軸是z-軸。紅色橢圓（$\mu$-等值線）變成上圖的紅色扁球面（$\mu$坐標曲面），而$x>0$青藍色雙曲線（$\nu$-等值線）則變成藍色半雙曲面（$\nu$坐標曲面）。

當邊界條件涉及扁球面或旋轉雙曲面時，扁球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，關於佩蘭摩擦因子（Perrin friction factors）的計算，扁球面坐標扮演了極重要的角色。讓·佩蘭因此而榮獲1926年諾貝爾物理獎。佩蘭摩擦因子決定了分子的旋轉擴散（rotational diffusion）。這程序又影響了許多科技，像蛋白質核磁共振光譜學（protein NMR），的可行性。應用這程序，我們可以推論分子的流體動力體積與形狀。扁球面坐標也時常用來解析電磁學（例如，扁球形帶電的分子的電容率），聲學（例如，聲音通過圓孔時產生的散射），流體動力學（水通過消防水帶的噴口），擴散理論（紅熱的錢幣在水裏的冷卻），等等方面的問題。

第一種表述

在三維空間裏，一個點P的扁球面坐標$(\mu ,\ \nu ,\ \phi )$常見的定義是

$x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \cos \phi$、

$y=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \sin \phi$、

$z=a\ \sinh \mu \ \sin \nu$。

其中，$\mu \geq 0$是個實數，角度$-90^{\circ }\leq \nu \leq 90^{\circ }$，角度$-180^{\circ }\leq \phi \leq 180^{\circ }$。

學術界比較中意這一種扁球面坐標，因為沒有簡併；三維空間內每一點都擁有自己獨特的扁球面坐標。

坐標曲面

$\mu$坐標曲面是扁球面 ：

${\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1$。

它們是由橢圓繞著z-軸旋轉形成的。橢球面與xz-平面的相交，是一個的橢圓。沿著x-軸，長半軸長度為$a\cosh \mu$，沿著z-軸，短半軸長度為$a\sinh \mu$。橢圓的焦點都包含於x-軸，x-坐標分別為$\pm a$。

$\nu$坐標曲面是半個單葉旋轉雙曲面 ：

${\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1$。

假若$\nu$是正值，$z$也是正值，這半個單葉旋轉雙曲面在xy-平面以上；假若是負值，則在xy-平面以下。$\nu$是雙曲線的漸近線的角度。所有雙曲線的焦點都在x-軸，x-坐標分別為$\pm a$。

$\phi$坐標曲面是個半平面 ：

$x\sin \phi -y\cos \phi =0$。

逆變換

用直角坐標$(x,\ y,\ z)$來計算扁球面坐標$(\mu ,\ \nu ,\ \phi )$，方位角$\phi$的公式為

$\tan \phi ={\frac {y}{x}}$。

設定$d_{1}$與$d_{2}$分別為點P與焦圓的最遠距離與最近距離，以方程式表示為

$d_{1}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+a)^{2}+z^{2}$、

$d_{2}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a)^{2}+z^{2}$。

坐標$\mu$和$\nu$的方程式分別為

$\cosh \mu ={\frac {d_{1}+d_{2}}{2a}}$、

$\cos \nu ={\frac {d_{1}-d_{2}}{2a}}$。

標度因子

扁球面坐標$\mu$與$\nu$的標度因子相等：

$h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}$。

方位角$\phi$的標度因子為

$h_{\phi }=a\cosh \mu \ \cos \nu$。

無窮小體積元素是

$dV=a^{3}\cosh \mu \ \cos \nu \ \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu d\phi$。

拉普拉斯算子是

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {1}{\cosh \mu }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left(\cosh \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right)+{\frac {1}{\cos \nu }}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left(\cos \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right)\right]+{\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu \cos ^{2}\nu \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}$。

其它微分算子，像$\nabla \cdot \mathbf {F}$、$\nabla \times \mathbf {F}$，都可以用$(\mu ,\ \nu ,\ \phi )$坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

第二種表述

另外有一組有時會用到的扁球面坐標$(\zeta ,\ \xi ,\ \phi )$；其中，$\zeta =\sinh \mu$，$\xi =\sin \nu$。$\zeta$坐標曲面是個扁球面，$\xi$坐標曲面是個旋轉雙曲面。從直角坐標變換至扁球面坐標：

$x=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\cos \phi$、

$y=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\sin \phi$、

$z=a\zeta \xi$。

其中，實數$0\leq \zeta <\infty$，實數$-1\leq \xi <1$，角度$-180^{\circ }\leq \phi \leq 180^{\circ }$。

標度因子

扁球面坐標$(\zeta ,\ \xi ,\ \phi )$的標度因子分別為：

$h_{\zeta }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1+\zeta ^{2}}}}$、

$h_{\xi }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}$、

$h_{\phi }=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}$。

無窮小體積元素是

$dV=a^{3}(\zeta ^{2}+\xi ^{2})\,d\zeta \,d\xi \,d\phi$。

拉普拉斯算子是

$\nabla ^{2}V={\frac {1}{a^{2}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left[\left(1+\zeta ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left[\left(1-\xi ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(1+\zeta ^{2}\right)\left(1-\xi ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \phi ^{2}}}$。

第三種表述

圖3）第三種扁球面坐標系$(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$的三個坐標曲面。紅色扁球面是$\sigma$坐標曲面。藍色單葉雙曲面是$\tau$坐標曲面。黃色半平面是$\phi$坐標曲面 （黃色半平面與xz-半平面之間的二面角角度是$\phi$）。z-軸是垂直的，以白色表示。x-軸以綠色表示。第三種扁球面坐標系有雙重簡併。這可以從三個坐標曲面的兩個相交點P₁，P₂ （以黑色的圓球表示）觀察到。

另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系$(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$：

$\sigma =\cosh \mu$、

$\tau =\cos \nu$、

$\phi =\phi$。

坐標$\sigma$必須大於或等於1。坐標$\tau$必須在正負1之間。$\sigma$坐標曲面是扁球面。$\tau$坐標曲面是單葉雙曲面，包含了對應於正負$\nu$的半雙曲面。第三種坐標有雙重簡併：三維空間的兩點（直角坐標$(x,\ y,\ \pm z)$映射至一組扁球面坐標系$(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$）。這雙重簡併可以從直角坐標變換至扁球面坐標的公式觀察到：

$x=a\sigma \tau \cos \phi$、

$y=a\sigma \tau \sin \phi$、

$z^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)$。

坐標$\sigma$與$\tau$有一個簡單的公式來表達任何一點P與焦圓的最遠距離$d_{1}$，最近距離$d_{2}$：

$d_{1}+d_{2}=2a\sigma$、

$d_{1}-d_{2}=2a\tau$。

所以，點P與焦圓的最遠距離是$a(\sigma +\tau )$，點P與焦圓的最近距離是$a(\sigma -\tau )$。

坐標曲面

$\sigma$坐標曲面是扁球面 ：

${\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sigma ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)}}=1$。

$\tau$坐標曲面是單葉旋轉雙曲面 ：

${\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\tau ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(1-\tau ^{2}\right)}}=1$。

$\phi$坐標曲面是半個平面 ：

$x\sin \phi -y\cos \phi =0$。

標度因子

扁球面坐標$(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$的標度因子分別為：

$h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{\sigma ^{2}+1}}}$、

$h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}$、

$h_{\phi }=a\sigma \tau$。

無窮小體積元素是

$dV=a^{3}\sigma \tau {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}+1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau d\phi$。

拉普拉斯算子是

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma ^{2}+1\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(1-\tau ^{2}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}+1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}$。

其它微分算子，像$\nabla \cdot \mathbf {F}$、$\nabla \times \mathbf {F}$，都可以用$(\sigma ,\ \tau ,\ z)$坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為扁球諧函數的答案。假若，邊界條件涉及扁球面，我們可以優先選擇這方法來解析。

參考目錄

不按照命名常規

• Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 662.  引文格式1維護：冗餘文本 (link) 採用$\xi _{1}=a\sinh \mu$、$\xi _{2}=\sin \nu$、$\xi _{3}=\cos \phi$。

• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 115. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式1維護：冗餘文本 (link) 如同Morse & Feshbach (1953)，採用$u_{k}$來替代$\xi _{k}$。

• Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)

• Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 98.  引文格式1維護：冗餘文本 (link) 採用混合坐標$\xi =a\sinh \mu$、$\eta =\sin \nu$、$\phi =\phi$。

按照命名常規

• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)採用第一種表述$(\mu ,\ \nu ,\ \phi )$，又加介紹了簡併的第三種表述$(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$。

• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 182.  引文格式1維護：冗餘文本 (link) 如同Korn and Korn (1961)，但採用餘緯度$\theta =90^{\circ }-\nu$來替代緯度$\nu$。

• Moon PH, Spencer DE. Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 31–34 (Table 1.07). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式1維護：冗餘文本 (link) Moon and Spencer採用餘緯度常規$\theta =90^{\circ }-\nu$，又改名$\phi$為$\psi$。

特異命名常規

• Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)視扁球面坐標系為橢球坐標系的極限。採用第二種表述。