質點運動學研究關於單獨質點的運動。從這方面得到的知識可以應用於研究質點動力學、一群質點的研究和其它力學領域。按照路徑的彎曲與否,質點運動可以分為直線運動與曲線運動。
位置、參考系
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在三維空間裏,詳細設定一個點P的位置需要完成三件事,找到參考點O(通常稱為原點 )、給出從點O到點P的距離、給出從點O到點P的直線方向;缺少其中任何資料,都會使得位置的描述不完全。[註 1]
將上述的資料數學化,用向量來描述位置。首先,為了要能夠一致地表示距離或方向,必須選擇一個三維坐標系,設定坐標系的原點O為參考點,以三維坐標系為參考系 。這樣,位置向量的大小就是點P離參考點的距離,而位置向量的方向就是從參考點到點P的直線方向。
質點的位置向量是從參考系的原點到質點的位置的向量。這向量表達了從原點到質點位置的距離和方向。在三維空間裏,點P的位置向量 r {\displaystyle \mathbf {r} } 表達為
r = ( x , y , z ) {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)} ;其中,x {\displaystyle x} 、y {\displaystyle y} 、z {\displaystyle z} 分別為點P的直角坐標。
位置向量 r {\displaystyle \mathbf {r} } 的大小是點P與原點之間的距離:
| r | = x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle |\mathbf {r} |={\sqrt {x^{\ 2}+y^{\ 2}+z^{\ 2}}}} 。從不同的參考系觀測點P的位置,可以得到不同的位置向量。
靜止與移動
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從某參考系觀測,假若質點的位置向量隨著時間的演進而改變,則稱此質點處於「移動狀態」;假若質點的位置向量保持不變,則稱此質點處於「靜止狀態」。請注意,不論是移動狀態或是靜止狀態,都依賴選擇的參考系而定。對於某參考系,處於靜止狀態的質點,對於另一個參考系,可能處於移動狀態。所以,移動狀態或靜止狀態都不是絕對的,都跟選擇的參考系有關。例如,假設在一輛移動中的火車內部有一位乘客。相對於火車,這乘客處於靜止狀態;但相對於火車外面的山嶺,這乘客處於移動狀態。
路徑、路徑距離、位移
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一個質點的移動「路徑」是從初始點移動到終極點所經過的軌跡。假設這初始點就是終結點,而移動時,其它每一個經過的點都只經過一次,則稱此路徑為「閉合迴路」。
路徑的樣子與參考系的選擇有關。對於某參考系,路徑可能是直線;對於另一個參考系,同樣的路徑可能是曲線。
位移向量與路徑距離之間的關係:位移向量的大小是距離的最小值 位移向量表達兩點之間位置的向量差。它可以表達一個質點在某時間間隔內由於運動而造成的位置改變。假設,點P的位置為 r P = ( x P , y P , z P ) {\displaystyle \mathbf {r} _{P}=(x_{P},y_{P},z_{P})} ,點Q的位置為 r Q = ( x Q , y Q , z Q ) {\displaystyle \mathbf {r} _{Q}=(x_{Q},y_{Q},z_{Q})} ,則從點Q到點P的位移 r P / Q {\displaystyle \mathbf {r} _{P/Q}} 為
r P / Q = r P − r Q = ( x P − x Q , y P − y Q , z P − z Q ) {\displaystyle \mathbf {r} _{P/Q}=\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q}=(x_{P}-x_{Q},y_{P}-y_{Q},z_{P}-z_{Q})} 。位移向量的大小是點P與點Q之間的最短距離。位移向量與位置向量不同,位移向量不會因為選擇不同的參考系而改變。但是,在相對論裏,假設兩個參考系的相對速度不為零,則分別從這兩個參考系測量得到的位移向量也不相等。
距離是一種純量 ,表達一個質點從某一位置移動到另外一位置,所經過的路徑的長度。例如,一部跑車從初始點行駛到終結點,一共行駛了10公里距離的路程。但是,假若這路程是個閉合迴路,初始點與終結點相同,則這跑車的最終位移的大小(徑向距離)是0,這跑車最終回到了初始點。
假設質點的位置是時間的函數,r = r ( t ) {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)} ,則從時間 t 1 {\displaystyle t_{1}} 到時間 t 2 {\displaystyle t_{2}} ,這質點所移動的距離 s {\displaystyle s} 為
s = ∫ t 1 t 2 | d r | = ∫ t 1 t 2 d s = ∫ t 1 t 2 d x 2 + d y 2 + d z 2 = ∫ t 1 t 2 ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 + ( d z d t ) 2 d t {\displaystyle s=\int _{t_{1}}^{t_{2}}|\mathrm {d} \mathbf {r} |=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} s=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\;\mathrm {d} t} 。這方程式應用到一個論據:在一段無窮小時間間隔內,位移的大小等於經過的路徑的長度。這論據類似於幾何論據:曲線的一段無窮小曲弧 與對應這曲弧的直弦 重疊在一起。
速度、加速度
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平均速度是在一段時間間隔內的速度的平均值,以方程式定義為
v ¯ = Δ r Δ t {\displaystyle {\overline {\mathbf {v} }}={\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}} ;其中,v ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbf {v} }}} 是平均速度,Δ r {\displaystyle \Delta \mathbf {r} } 是質點的位移,Δ t {\displaystyle \Delta t} 是時間間隔。
由於時間間隔 Δ t {\displaystyle \Delta t} 大於零,平均速度 v ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbf {v} }}} 與位移 Δ r {\displaystyle \Delta \mathbf {r} } 同向。
速度是一種向量,表達隨著時間的演進而發生的位移改變。瞬時速度定義為,當 Δ t {\displaystyle \Delta t} 變得越來越小時,平均速度 v ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbf {v} }}} 的極限值。注意到,在這裏,Δ r {\displaystyle \Delta \mathbf {r} } 與 Δ t {\displaystyle \Delta t} 都會趨向於零,但是它們的比例 v ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbf {v} }}} 會趨向於非零極限 v {\displaystyle \mathbf {v} } :
v = d e f lim Δ t → 0 Δ r Δ t = d r d t {\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {def}{=}}\ \lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}} 。以微分形式定義,速度是位移對於時間的導數。由於無窮小位移 d r {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} } 正切 於實際路徑,速度也正切於實際路徑。
速率 v {\displaystyle v} 是速度的數值大小,是一種純量:
v = | v | = | d r d t | = d s d t {\displaystyle v=|\mathbf {v} |=\left|{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right|={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}} 。一個質點移動所經過的路徑距離是一種單調遞增 物理量。因此,d s d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}} 是個非負數,速率是個非負數。
平均加速度是在一段時間間隔內的加速度的平均值,以方程式定義為
a ¯ = Δ v Δ t {\displaystyle {\overline {\mathbf {a} }}={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}} ;其中,a ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbf {a} }}} 是平均加速度,Δ v {\displaystyle \Delta \mathbf {v} } 是質點在微小時間間隔 Δ t {\displaystyle \Delta t} 內的微小速度改變。
加速度是一種表達質點移動速度隨著時間的演進而改變的向量。瞬時加速度定義為當 Δ t {\displaystyle \Delta t} 趨向於零時,平均加速度的極限值,以方程式表達,
a = d e f lim Δ t → 0 Δ v Δ t = d v d t {\displaystyle \mathbf {a} \ {\stackrel {def}{=}}\ \lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}} 。以微分形式定義,加速度是速度對於時間的導數。
上述速度和加速度的定義式可以逆反過來,以積分形式表達為
v ( t ) = v 0 + ∫ t 0 t a ( t ) d t {\displaystyle \mathbf {v} (t)=\mathbf {v} _{0}+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {a} (t)\ \mathrm {d} t} 、
r ( t ) = r 0 + ∫ t 0 t v ( t ) d t = r 0 + v 0 t + ∫ t 0 t [ ∫ t 0 t a ( t ) d t ] d t {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&=\mathbf {r} _{0}+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {v} (t)\ \mathrm {d} t\\&=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+\int _{t_{0}}^{t}\left[\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {a} (t)\mathrm {d} t\right]\ \mathrm {d} t\\\end{aligned}}} ; 其中,t 0 {\displaystyle t_{0}} 是初始時間,v 0 {\displaystyle \mathbf {v} _{0}} 是初始速度,r 0 {\displaystyle \mathbf {r} _{0}} 是初始位置。
相對運動
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假設,已知質點P、質點Q對於某參考點G的相對運動,應用向量代數 ,就可以描述質點P對於質點Q的相對運動。假設,從某參考系觀測,質點P、質點Q、參考點G的位置分別為 r P {\displaystyle \mathbf {r} _{P}} 、r Q {\displaystyle \mathbf {r} _{Q}} 、r G {\displaystyle \mathbf {r} _{G}} ,則質點P、質點Q對於參考點G的相對位置分別為
r P / G = r P − r G {\displaystyle \mathbf {r} _{P/G}=\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{G}} 、
r Q / G = r Q − r G {\displaystyle \mathbf {r} _{Q/G}=\mathbf {r} _{Q}-\mathbf {r} _{G}} 。質點P對於質點Q的相對位置為
r P / Q = r P − r Q = r P − r G − r Q + r G = r P / G − r Q / G {\displaystyle \mathbf {r} _{P/Q}=\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q}=\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{G}-\mathbf {r} _{Q}+\mathbf {r} _{G}=\mathbf {r} _{P/G}-\mathbf {r} _{Q/G}} 。換句話說,質點P對於參考點G的相對位置為
r P / G = r P / Q + r Q / G {\displaystyle \mathbf {r} _{P/G}=\mathbf {r} _{P/Q}+\mathbf {r} _{Q/G}} 。上述這些位移關係式,通過取時間導數,可以得到速度關係式:
v P / Q = v P − v Q {\displaystyle \mathbf {v} _{P/Q}=\mathbf {v} _{P}-\mathbf {v} _{Q}} 。取時間導數於這些速度關係式,可以得到加速度關係式:
a P / Q = a P − a Q {\displaystyle \mathbf {a} _{P/Q}=\mathbf {a} _{P}-\mathbf {a} _{Q}} 。特別注意,當速度接近光速 時,上述這些位移關係式或速度關係式並不正確,必須改用狹義相對論 推導出的關係式計算。
直線運動
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在直線運動中,質點沿著直線移動。如果將一個一維坐標系 的坐標軸放在這直線上,那麼,就可以用其坐標來設定位置 ,從而計算出速度 和加速度 等等。假設,在時間是 t {\displaystyle t} 時,質點P的位置是 x {\displaystyle x} ;經過 Δ t {\displaystyle \Delta t} 時間間隔後,時間是 t + Δ t {\displaystyle t+\Delta t} ,質點P的位置是 x + Δ x {\displaystyle x+\Delta x} 。那麼,位移是 Δ x {\displaystyle \Delta x} 。質點P的平均速度 v ¯ {\displaystyle {\overline {v}}} 和瞬時速度 v {\displaystyle v} 分別為∶
v ¯ = Δ x Δ t {\displaystyle {\overline {v}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}} 、
v = lim Δ t → 0 Δ x Δ t {\displaystyle v=\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta x}{\Delta t}}} 。質點P的平均加速度 a ¯ {\displaystyle {\overline {a}}} 和瞬時加速度 a {\displaystyle a} 分別為:
a ¯ = Δ v Δ t {\displaystyle {\overline {a}}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}} 、
a = lim Δ t → 0 Δ v Δ t {\displaystyle a=\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta v}{\Delta t}}} 。假設,質點P的位置是時間的函數 x = x ( t ) {\displaystyle x=x(t)} ,則其速度、加速度分別為
v ( t ) = d x d t {\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}} 、
a ( t ) = d v d t = d 2 x d t 2 {\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}} 。等速直線運動的加速度是零,速度 v {\displaystyle v} 是常數,位置是
x f = x i + v t {\displaystyle x_{f}=x_{i}+vt} ;其中,x i {\displaystyle x_{i}} 是初始位置,x f {\displaystyle x_{f}} 是終結位置。
等加速直線運動的加速度 a {\displaystyle a} 是常數,位移與速度分別是
x f − x i = v i t + 1 2 a t 2 {\displaystyle x_{f}-x_{i}=v_{i}t+{\frac {1}{2}}at^{2}} 、
x f − x i = 1 2 ( v f + v i ) t {\displaystyle x_{f}-x_{i}={\frac {1}{2}}(v_{f}+v_{i})t} 、
v f = v i + a t {\displaystyle v_{f}=v_{i}+at} 、
v f 2 = v i 2 + 2 a ( x f − x i ) {\displaystyle v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a(x_{f}-x_{i})} ;其中,x i {\displaystyle x_{i}} 是初始位置,x f {\displaystyle x_{f}} 是終結位置,v i {\displaystyle v_{i}} 是初始速度,v f {\displaystyle v_{f}} 是終結速度。
實例:等加速直線運動
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思考一個向上發射的物體;它將會往上直升,然後又落回到地面;它的軌跡全部都包含於同一條直線。假若認定朝上的方向為正值,那麼,這物體將會體驗到 -9.81m/s2 的等加速度。這物體的運動是等加速直線運動。
現在,請問幾個關於這運動的有趣的問題:這物體會在空中運動多久時間?在它開始往下落以前,它會升到多高?當它碰到地面時,它的最終速度是多少?輸入實際的數值,假設物體的最初速度是 +50 m/s。
它會在空中多久時間?
應用位移公式來計算時間:
x f = x i + v i t + 1 2 a t 2 {\displaystyle x_{f}=x_{i}+v_{i}t+{\frac {1}{2}}at^{2}} 因為這物體先飛離開地面,然後又落回到地面,淨位移是零:
0 = v i t + 1 2 a t 2 = t ( v i + 1 2 a t ) {\displaystyle 0=v_{i}t+{\frac {1}{2}}at^{2}=t(v_{i}+{\frac {1}{2}}at)} 從這程式,可以求解到兩個答案。第一個答案是零;雖然這明顯解 是正確的答案;但是,它代表的時間間隔是那物體開始移動前的時間間隔。離開地面與回到地面所需要的時間為
t = − 2 v i a = − 2 ∗ 50 − 9.81 = 10.2 s {\displaystyle t=-{\frac {2v_{i}}{a}}=-{\frac {2*50}{-9.81}}=10.2\ s} 在它開始往下落以前,它會飛到多高呢?
當這物體升到最高點的時候,它的速度是零。所以可以應用速度平方公式,
v f 2 = v i 2 + 2 a ( x f − x i ) {\displaystyle v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a(x_{f}-x_{i})} 假設以地面為座標系統的原點,那麼,x i {\displaystyle x_{i}} 是零。x f {\displaystyle x_{f}} 則是最高高度:
x f = v f 2 − v i 2 2 a + x i = 0 − 50 2 2 ∗ − 9.81 + 0 = 127.55 m {\displaystyle x_{f}={\frac {v_{f}^{2}-v_{i}^{2}}{2a}}+x_{i}={\frac {0-50^{2}}{2*-9.81}}+0=127.55\ m} 當它碰到地面時,它的最終速度會是多少?
正當這物體從最高點往回落的時候,它的速度是零。因此,可以同樣的用速度平方公式。帶進 x i {\displaystyle x_{i}} 的數質 127.55m:
v f = v i 2 + 2 a ( x f − x i ) = 0 2 + 2 ( − 9.81 ) ( 0 − 127.55 ) = 50 m / s {\displaystyle v_{f}={\sqrt {v_{i}^{2}+2a(x_{f}-x_{i})}}={\sqrt {0^{2}+2(-9.81)(0-127.55)}}=50\ m/s} 注意到初始速度與最終速度是等值的。這結果跟能量守恆定律 相符合。
曲線運動
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質點隨時間演進而移動的曲線運動 定義質點在空間中沿著曲線的運動為「曲線運動」。曲線運動的位置、速度、加速度等等,皆須用向量 來表示。參考右圖,假設質點在時間 t {\displaystyle t} 的位置是 r ( t ) {\displaystyle \mathbf {r} (t)} ;在間隔 Δ t {\displaystyle \Delta t} 時間後,位移是 Δ r {\displaystyle \Delta \mathbf {r} } 、位置是 r ( t + Δ t ) {\displaystyle \mathbf {r} (t+\Delta t)} ,則質點的速度是
v = lim Δ t → 0 Δ r Δ t = d r d t {\displaystyle \mathbf {v} =\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}} 。在 Δ t → 0 {\displaystyle \Delta t\to 0} 極限得到的速度向量,正切 曲線於質點的位置。
定義速率 為速度的大小。假設這曲線從 r {\displaystyle \mathbf {r} } 到 r + Δ r {\displaystyle \mathbf {r} +\Delta \mathbf {r} } 的路徑 長度是 Δ s {\displaystyle \Delta s} ,則速率為
v = | v | = lim Δ t → 0 Δ s Δ t = d s d t {\displaystyle v={\begin{vmatrix}\mathbf {v} \end{vmatrix}}=\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}} 。假設質點在間隔 Δ t {\displaystyle \Delta t} 時間的速度差是 Δ v {\displaystyle \Delta \mathbf {v} } ,則加速度是
a = lim Δ t → 0 Δ v Δ t = d v d t {\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}} 。求解曲線運動問題時,選擇合適的坐標系是一項非常重要的步驟。運動所遭遇到的約束、或作用力的幾何特性,往往是決定合適坐標的主要因素。假設,限制一粒串珠只能繞圓環移動,那麼,以圓心 為頂點 ,包含串珠與圓環的另一點的角 ,其角弧 可能是合適的坐標。類似地,假設施加於質點的作用力是連心力 ,則合適的坐標系可能是極坐標系 。
直角坐標系
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直角坐標系。x-軸的方向是親近讀者。
三維空間的直角坐標系有三個坐標軸:x-軸、y-軸、z-軸。採用直角坐標系,位置、速度、加速度表示為
r = x x ^ + y y ^ + z z ^ {\displaystyle \mathbf {r} =x{\hat {\mathbf {x} }}+y{\hat {\mathbf {y} }}+z{\hat {\mathbf {z} }}} 、
v = v x x ^ + v y y ^ + v z z ^ {\displaystyle \mathbf {v} =v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}} 、
a = a x x ^ + a y y ^ + a z z ^ {\displaystyle \mathbf {a} =a_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}} ;其中,x {\displaystyle x} 、y {\displaystyle y} 、z {\displaystyle z} 分別是質點的位置的三個分量,速度和加速度的三個分量分別為
v x = d x d t , v y = d y d t , v z = d z d t {\displaystyle v_{x}={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\ \ ,\qquad \qquad v_{y}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\ \ ,\qquad \qquad v_{z}={\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}} ,
a x = d v x d t , a y = d v y d t , a z = d v z d t {\displaystyle a_{x}={\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}\ ,\qquad \qquad a_{y}={\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}\ ,\qquad \qquad a_{z}={\frac {\mathrm {d} v_{z}}{\mathrm {d} t}}} 。極坐標系
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在極點為O、極軸為L的極坐標系裏,點 ( 3 , 60 ∘ ) {\displaystyle (3,60^{\circ })} 、點 ( 4 , 210 ∘ ) {\displaystyle (4,210^{\circ })} 的坐標分別以綠色、藍色展示。
在二維空間裡,極坐標系用半徑坐標 r {\displaystyle r} 、角坐標 θ {\displaystyle \theta } 來表示質點的位置。半徑坐標是極點與質點的直線距離;角坐標是極點與質點的連線對於極軸的角弧。位置、速度、加速度分別表示為
r = r r ^ {\displaystyle \mathbf {r} =r{\hat {\mathbf {r} }}} 、
v = r ˙ r ^ + r θ ˙ θ ^ {\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}} 、
a = ( r ¨ − r θ ˙ 2 ) r ^ + ( r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ ) θ ^ {\displaystyle \mathbf {a} =({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}} ;其中,r ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}} 是半徑單位向量,θ ^ {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}} 是角單位向量。
質點的「角位置」就是它的角坐標 θ {\displaystyle \theta } ,「角位移」 Δ θ {\displaystyle \Delta \theta } 則是質點在運動時前後角位置的差值,角速度 的大小 ω {\displaystyle \omega } 是角位置對於時間的導數 ω = θ ˙ {\displaystyle \omega ={\dot {\theta }}} ,角加速度 的大小 α {\displaystyle \alpha } 是角速度對於時間的導數:
α = ω ˙ = θ ¨ {\displaystyle \alpha ={\dot {\omega }}={\ddot {\theta }}} 。類似等加速直線運動,假設曲線運動的角加速度 α {\displaystyle \alpha } 是常數,則角位移與角速度分別是
θ f − θ i = ω i t + 1 2 α t 2 {\displaystyle \theta _{f}-\theta _{i}=\omega _{i}t+{\frac {1}{2}}\alpha t^{2}} 、
θ f − θ i = 1 2 ( ω f + ω i ) t {\displaystyle \theta _{f}-\theta _{i}={\frac {1}{2}}(\omega _{f}+\omega _{i})t} 、
ω f = ω i + α t {\displaystyle \omega _{f}=\omega _{i}+\alpha t} 、
ω f 2 = ω i 2 + 2 α ( θ f − θ i ) {\displaystyle \omega _{f}^{2}=\omega _{i}^{2}+2\alpha (\theta _{f}-\theta _{i})} ;其中,θ i {\displaystyle \theta _{i}} 是初始角位置,θ f {\displaystyle \theta _{f}} 是終結角位置,ω i {\displaystyle \omega _{i}} 是初始角速度,ω f {\displaystyle \omega _{f}} 是終結角速度。
實例:等加速曲線運動
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如果一個物體不是垂直向上發射,而是與地平面呈 Φ {\displaystyle \Phi } 角度射出,那麼,這物體會按照拋物線軌跡移動,它的水平運動與垂直運動可以各自獨立計算。假設,這物體是以最初速率 v 0 = 50 m / s {\displaystyle v_{0}=50m/s} ,與地平面呈 Φ = 30 ∘ {\displaystyle \Phi =30^{\circ }} 角度射出。
請問在碰到地面以前,它會在空中飛行多遠?
垂直方向,這物體會感覺到 − 9.81 m / s 2 {\displaystyle -9.81m/s^{2}} 加速度;水平方向,不會感覺到有任何加速度。所以,水平位移是
Δ x = x f − x i = v i cos ( Φ ) t + 1 2 a t 2 = v i cos ( Φ ) t {\displaystyle \Delta x=x_{f}-x_{i}=v_{i}\cos(\Phi )\ t+{\frac {1}{2}}at^{2}=v_{i}\cos(\Phi )\ t} 為要解答這問題,必須找到 t {\displaystyle t} 值。這是可以做到的,只需分析垂直的運動。假設垂直位移為零,用類似前面直線運動的方法來找 t {\displaystyle t} 值:
0 = v i sin ( Φ ) t + 1 2 a t 2 = t ( v i sin ( Φ ) + 1 2 a t ) {\displaystyle 0=v_{i}\sin(\Phi )\ t+{\frac {1}{2}}at^{2}=t(v_{i}\sin(\Phi )+{\frac {1}{2}}at)} 現在求解 t {\displaystyle t} 的表達式,代入原先的水平位移方程式。
Δ x = v i cos ( Φ ) ( − 2 v i sin ( Φ ) a ) = − v i 2 sin 2 ( Φ ) a = 220.70 m {\displaystyle \Delta x=v_{i}\cos(\Phi )\left({\frac {-2v_{i}\sin(\Phi )}{a}}\right)=-{\frac {v_{i}^{2}\sin 2(\Phi )}{a}}=220.70\ m} 二維旋轉參考系
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在三維空間內,設定兩個參考系:空間參考系S與旋轉參考系R。空間參考系S的標準正交基 為 x ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}} 、y ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}} 、z ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}} 。旋轉參考系R的標準正交基 為 e ^ x {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{x}} 、e ^ y {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{y}} 、e ^ z {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{z}} 。兩個參考系的原點 共點。空間參考系S靜止不動,旋轉參考系R繞著固定軸 z ^ = e ^ z {\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}={\hat {\mathbf {e} }}_{z}} 旋轉。四個單位向量 x ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}} 、y ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}} 、e ^ x {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{x}} 、e ^ y {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{y}} 共平面。這旋轉運動可以簡化為一個二維平面運動。
單位向量的時間變化率
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當計算質點的位置、速度、加速度之時,必須特別注意到旋轉參考系R是在持續地旋轉,單位向量 e ^ x {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{x}} 、e ^ y {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{y}} 也跟著旋轉。在取這些單位向量對於時間的導數時,必須顧慮到旋轉運動。假設 e ^ x {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{x}} 和 e ^ y {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{y}} 以角速度 ω = ω z ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\omega {\hat {z}}} 繞著 z ^ {\displaystyle {\hat {z}}} 旋轉,在初始時間 t = 0 {\displaystyle t=0} ,
e ^ x = x ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{x}={\hat {\mathbf {x} }}} 、
e ^ y = y ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{y}={\hat {\mathbf {y} }}} ,則在時間 t {\displaystyle t} ,
e ^ x = cos ( ω t ) x ^ + sin ( ω t ) y ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{x}=\cos(\omega t){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\omega t){\hat {\mathbf {y} }}} 、
e ^ y = − sin ( ω t ) x ^ + cos ( ω t ) y ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{y}=-\sin(\omega t){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\omega t){\hat {\mathbf {y} }}} 。兩個單位向量 e ^ x {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{x}} 、e ^ y {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{y}} 對於時間的導數分別為
d e ^ x d t = − ω sin ( ω t ) x ^ + ω cos ( ω t ) y ^ = ω e ^ y {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {e} }}_{x}}{\mathrm {d} t}}=-\omega \sin(\omega t){\hat {\mathbf {x} }}+\omega \cos(\omega t){\hat {\mathbf {y} }}=\omega {\hat {\mathbf {e} }}_{y}} 、
d e ^ y d t = − ω cos ( ω t ) x ^ − ω sin ( ω t ) y ^ = − ω e ^ x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {e} }}_{y}}{\mathrm {d} t}}=-\omega \cos(\omega t){\hat {\mathbf {x} }}-\omega \sin(\omega t){\hat {\mathbf {y} }}=-\omega {\hat {\mathbf {e} }}_{x}} 。對於含時向量 F ( t ) = f x x ^ + f y y ^ = F x e ^ x + F y e ^ y {\displaystyle \mathbf {F} (t)=f_{x}{\hat {x}}+f_{y}{\hat {y}}=F_{x}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+F_{y}{\hat {\mathbf {e} }}_{y}} ,其對於時間的導數為
( d F d t ) = f ˙ x x ^ + f ˙ y y ^ = F ˙ x e ^ x + F ˙ y e ^ y + F x ( d e ^ x d t ) + F y ( d e ^ y d t ) = F ˙ x e ^ x + F ˙ y e ^ y + F x ω e ^ y − F y ω e ^ x = F ˙ x e ^ x + F ˙ y e ^ y + ω × F {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}\right)&={\dot {f}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {f}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}\\&={\dot {F}}_{x}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+{\dot {F}}_{y}{\hat {\mathbf {e} }}_{y}+F_{x}\left({\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {e} }}_{x}}{\mathrm {d} t}}\right)+F_{y}\left({\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {e} }}_{y}}{\mathrm {d} t}}\right)\\&={\dot {F}}_{x}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+{\dot {F}}_{y}{\hat {\mathbf {e} }}_{y}+F_{x}\omega {\hat {\mathbf {e} }}_{y}-F_{y}\omega {\hat {\mathbf {e} }}_{x}\\&={\dot {F}}_{x}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+{\dot {F}}_{y}{\hat {\mathbf {e} }}_{y}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {F} \\\end{aligned}}} 。 設定 ( d F d t ) s p a c e = f ˙ x x ^ + f ˙ y y ^ {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }={\dot {f}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {f}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}} 、( d F d t ) r o t a t e = F ˙ x e ^ x + F ˙ y e ^ y {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {rotate} }={\dot {F}}_{x}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+{\dot {F}}_{y}{\hat {\mathbf {e} }}_{y}} 分別為從空間參考系S、旋轉參考系R觀測到的向量 F ( t ) {\displaystyle \mathbf {F} (t)} 對於時間的導數,上述方程式可以表達為
( d F d t ) s p a c e = ( d F d t ) r o t a t e + ω × F {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {rotate} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {F} } 。這方程式的叉積項目可以這樣理解:假設向量 F {\displaystyle \mathbf {F} } 的尾部與空間參考系S的原點同點,向量 F {\displaystyle \mathbf {F} } 以角速度 ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} 繞著固定軸 z ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}} 旋轉,則向量 F {\displaystyle \mathbf {F} } 的頭部的速度是 ω × F {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {F} } 。
向量 F ( t ) {\displaystyle \mathbf {F} (t)} 是任意向量,因此可以將 ( d d t ) s p a c e {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }} 、( d d t ) r o t a t e {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {rotate} }} 當作算符,這樣,對應的算符方程式的形式為:
( d d t ) s p a c e = ( d d t ) r o t a t e + ω × {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {rotate} }+{\boldsymbol {\omega }}\times } 。位置、速度、加速度
編輯
假設,從空間參考系S觀測,質點P的位置為
r = x S x ^ + y S y ^ {\displaystyle \mathbf {r} =x_{S}\ {\hat {\mathbf {x} }}+y_{S}\ {\hat {\mathbf {y} }}} ,而從旋轉參考系R觀測,同一質點P的位置為
r = x R e ^ x + y R e ^ y {\displaystyle \mathbf {r} =x_{R}\ {\hat {\mathbf {e} }}_{x}+y_{R}\ {\hat {\mathbf {e} }}_{y}} 。從空間參考系S觀測,質點P的速度 v = x ˙ S x ^ + y ˙ S y ^ {\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {x}}_{S}\ {\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {y}}_{S}\ {\hat {\mathbf {y} }}} 為
v = d e f ( d r d t ) s p a c e = ( d r d t ) r o t a t e + ω × r = v R + ω × r {\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {rotate} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} _{R}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} } ;其中,v R = d e f ( d r d t ) r o t a t e = x ˙ R e ^ x + y ˙ R e ^ y {\displaystyle \mathbf {v} _{R}\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {rotate} }={\dot {x}}_{R}\ {\hat {\mathbf {e} }}_{x}+{\dot {y}}_{R}\ {\hat {\mathbf {e} }}_{y}} 是從旋轉參考系R觀測到的質點P的速度。
質點P的加速度為
a = d e f ( d v d t ) s p a c e = ( d v R d t ) s p a c e + ( d ( ω × r ) d t ) s p a c e = ( d v R d t ) s p a c e + ( d ω d t ) s p a c e × r + ω × ( d r d t ) s p a c e = ( d v R d t ) s p a c e + α × r + ω × v {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }\\&=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{R}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }+\left({\frac {\mathrm {d} ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }\\&=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{R}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }+\left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }\\&=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{R}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }+{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} \\\end{aligned}}} ;其中,α = d e f ( d ω d t ) s p a c e = ω ˙ z ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }={\dot {\omega }}{\hat {\mathbf {z} }}} 是從空間參考系S觀測到的旋轉參考系R的角加速度。
應用算符方程式,
( d v R d t ) s p a c e = ( d v R d t ) r o t a t e + ω × v R = a R + ω × v R {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{R}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{R}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {rotate} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{R}=\mathbf {a} _{R}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{R}} ;其中,a R = d e f ( d v R d t ) r o t a t e = x ¨ R e ^ x + y ¨ R e ^ y {\displaystyle \mathbf {a} _{R}\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{R}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {rotate} }={\ddot {x}}_{R}\ {\hat {\mathbf {e} }}_{x}+{\ddot {y}}_{R}\ {\hat {\mathbf {e} }}_{y}} 是從旋轉參考系R觀測到的質點P的加速度。
總合起來,質點P的加速度 a = x ¨ S x ^ + y ¨ S y ^ {\displaystyle \mathbf {a} ={\ddot {x}}_{S}\ {\hat {\mathbf {x} }}+{\ddot {y}}_{S}\ {\hat {\mathbf {y} }}} 是[3]
a = a R + 2 ω × v R + α × r + ω × ( ω × r ) {\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{R}+2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{R}+{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )} 。這方程式右手邊第一個項目是從旋轉參考系R觀測到的質點P的加速度項目,第二個是科里奧利力 項目,第三個是從空間參考系S觀測到的旋轉參考系R的角加速度項目,第四個是向心力 項目。