連續傅立葉轉換

在數學中，連續傅立葉轉換是一個特殊的把一組函數映射為另一組函數的線性算子。 不嚴格地說，傅立葉轉換就是把一個函數分解為組成該函數的連續頻率譜。 在數學分析中，訊號$f(t)$的傅立葉轉換被認為是處在頻域中的訊號。 這一基本思想類似於其他傅立葉轉換，如週期函數的傅立葉級數。（參見分數階傅立葉轉換得到概況）

假設$f$是一個勒貝格可積的函數。 我們定義其連續傅立葉轉換$F$也是一個複函數:

對任意實數 $\omega$(這裡$i$是虛數單位)，

$F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt$

$\omega$ 為角頻率，$F(\omega )$為複數，並且是訊號在該頻率成分處的相位和振幅。

傅立葉轉換是自反映射，若 $F(\omega )$如上定義，$f$是連續的，則對於任意實數 $t$

$f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega$

每個積分前的$1 \over {\sqrt {2\pi }}$為規範化因子。 因子的選擇是主觀任意的，只要滿足二者的乘積為$1 \over {2\pi }$，如上取法稱為歸一化常數。 另一種常見取法是前向方程式和反向方程式分別為$1$和$1 \over {2\pi }$。 粗略估計，數學家通常使用前者（由於對稱的原因），而物理學家和工程師們則常用後者。

另外，傅立葉坐標$\omega$有時可用$2\pi \nu$來代替，在頻率$\nu$上積分，這種情況下，歸一化常數都變為單位$1$。 另一個主觀的常規選擇是，不管前向轉換中的指數是$+i\omega t$還是$-i\omega t$，只要滿足前向和反向方程式中指數符號相反即可。

概述

在數學中，連續傅立葉變換是一個特殊的把一組函數映射為另一組函數的線性算子。 不嚴格地說，傅立葉變換就是把一個函數分解為組成該函數的連續頻率譜。 在數學分析中，訊號f(t)的傅立葉變換被認為是處在頻域中的訊號。 這一基本思想類似於其他傅立葉變換，如週期函數的傅立葉級數。（參見分數階傅立葉變換得到概況）

參見

• 傅立葉轉換
• 傅立葉級數
• 離散傅立葉轉換
• 拉普拉斯轉換

外部連結

• 積分轉換表 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）在「數學公式世界」（EqWorld: The World of Mathematical Equations）