八面半八面體
在幾何學中，八面半八面體是一種非凸多面體，屬於星形多面體及均勻多面體[1]，也可以歸類在非凸均勻多面體，其索引為U3。八面半八面體由8個正三角形和4個正六邊形組成，且每個頂點對應的角皆相等，因此也可以被歸類為擬正多面體[2]，然而由於這個立體同時具備半多面體的特性，因此被部分學者分成一類新的立體，即擬正半多面體（Versi-Regular Polyhedra），這類立體共有九個，最早在1881年由亞伯特·巴杜羅（Albert Badoureau）發現並描述[3]。特別地，這個立體的邊長與外接球半徑相等[4]。八面半八面體可以與星形八面體共同堆砌填滿空間，因此曾應用於建築結構中。[5]
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| 類別 | 星形均勻多面體 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 對偶多面體 | 八面半無窮星形八面體 | ||||
| 識別 | |||||
| 名稱 | 八面半八面體 | ||||
| 參考索引 | U3, C37, W68 | ||||
| 鮑爾斯縮寫 | oho | ||||
| 數學表示法 | |||||
| 考克斯特符號 |     | ||||
| 威佐夫符號 | 3/2 3 | 3 | ||||
| 性質 | |||||
| 面 | 12 | ||||
| 邊 | 24 | ||||
| 頂點 | 12 | ||||
| 歐拉特徵數 | F=12, E=24, V=12 （χ=0） | ||||
| 虧格 | -1 | ||||
| 組成與佈局 | |||||
| 面的種類 | 8個三角形{3} 4個六邊形{6} 存在半三角形{3/2} 一種抽象多胞形 | ||||
| 面的佈局 | 8{3}+4{6} | ||||
| 頂點圖 | 3.6.3/2.6 | ||||
| 對稱性 | |||||
| 對稱群 | Oh, [4,3], *432 | ||||
| 特性 | |||||
| 均勻 | |||||
| 圖像 | |||||
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性質 编辑
八面半八面體共有12個面、24條邊和12個頂點[6][7]，是一種十二面體，每個頂點都是2個正三角形和2個六邊形的公共頂點。[6]
定向性 编辑
八面半八面體是唯一可定向且歐拉示性數為零的半多面體，[8]這意味著其具有拓撲環面的性質。[9]
 八面半八面體 |
 八面半八面體在拓樸上的展開圖可以排佈為分割成8個正三角形和4個正六邊形的菱形。所有頂點的角虧為零 |
 這個展開圖是截半六邊形鑲嵌的一部份，在威佐夫符號中計為3 3 | 3、考克斯特-狄肯記號計為  
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二面角 编辑
八面半八面體僅有一種二面角，為三角形和六邊形的棱之交角，其值為三分之一的反餘弦值[10][11]：
其值約為70度31分43.6秒
頂點座標 编辑
由於其凸包為截半立方體，因此其12頂點會與截半立方體相同，為(0, ±1, ±1),(±1, 0, ±1),(±1, ±1, 0)，若邊長為a，則座標要縮放 倍。[12]
作為簡單多面體 编辑
八面半八面體具有抽象多胞形半三角形面和互相相交的六邊形面，但若去除相交的面作為一個簡單多面體，則其可以視為由32個正三角形組成的凹多面體[13][14]。這種多面體共有32個面、48條邊和13個頂點，其結構與四角化截半立方體拓樸同構，不過四角化截半立方體有18個頂點而這種多面體僅有13個頂點是因為有6個頂點在中心共用。另一方面，這個立體也可以視為由8個正四面體組合而成。[15]:103
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四角化截半立方體 -
截半立方體 -
倒四角化截半立方體
八面半八面體
對偶多面體 编辑
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| 類別 | 無窮星形多面體 | |
|---|---|---|
| 對偶多面體 | 八面半八面體 | |
| 識別 | ||
| 名稱 | 八面半無窮星形八面體 | |
| 參考索引 | DU3 | |
| 數學表示法 | ||
| 考克斯特符號 |   | |
| 性質 | ||
| 面 | 12 | |
| 邊 | 24 | |
| 頂點 | 12 | |
| 歐拉特徵數 | F=12, E=24, V=12 （χ=0） | |
| 組成與佈局 | ||
| 面的種類 | 12個四條稜的抽象多胞形 | |
| 頂點圖 | 每個頂點周圍都有3個面 | |
| 對稱性 | ||
| 對稱群 | Oh, [4,3], *432 | |
| 圖像 | ||
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八面半八面體的對偶多面體是八面半無窮星形八面體。其外觀與立方半無窮星形八面體相同[16]。
從定義上來看，對偶多面體的面會與原始立體的頂點圖相同，同時頂點周圍之面的排列方式會和原始立體的面之邊相同，也就是說對偶多面體的頂點圖為原始立體的面[17]。由於八面半無窮星形八面體是八面半八面體的對偶多面體，而八面半八面體的12個頂點皆為4個面的公共頂點，因此八面半無窮星形八面體的面理應具有12個面，每個面由4個邊組成[7]。然而八面半八面體有部分面幾何中心落在整個立體的幾何中心上，因此其對偶多面體的頂點會落在無窮遠處，即無窮实射影平面上的點。[18]一般來說，這樣的立體無法被具象化[7]。為了具像化這種立體，溫尼爾在著作《對偶模型》中將其描述為由無限高的柱體組合構成的立體，在這樣的視覺化方式下，八面半八面體外觀為由4個無限高的六角柱構成的立體[18]。
相關多面體 编辑
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八面半八面體
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八面半八面體可透過截去皮特里立方體的所有頂點來構造，也就是說，八面半八面體可以視為截半的皮特里立方體。[20][21]
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八面半八面體
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八面半八面體可以視為是截半立方體經過刻面後的結果[4]，而立方半八面體也可以視為是刻面的截半立方體[22]。
| 截半立方體 | 立方半八面體 | 八面半八面體 | ||
|---|---|---|---|---|
| 八面體對稱 | 四面體對稱 | 八面體對稱 | 四面體對稱 | |
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| 2 | 3 4 | 3 3 | 2 | 4/3 4 | 3 | 3/2 3 | 3 | |
 
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中心八面半八面體數 编辑
中心八面半八面體數是一種排列成八面半八面體的有形數。第n個中心八面半八面體數可以表示為 [23]。由於八面半八面體數與截半立方體共用相同的頂點排列方式，因此數列前兩項與中心截半立方體數（OEIS數列A005902）相同，第三項開始少去了八面半八面體數相對於截半立方體缺少的6個四角錐[23]
前幾個中心八面半八面體數為：
參見 编辑
參考文獻 编辑
- ^ Wolfram, Stephen. "Octahemioctahedron". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
- ^ George W. Hart. Quasi-Regular Polyhedra. 1996 [2021-09-05]. （原始内容存档于2021-08-30）.
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- ^ 4.0 4.1 Weisstein, Eric W. (编). Octahemioctahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ Hisarligil, Hakan and Hisarligil, Beyhan Bolak. The Geometry of Cuboctahedra in Medieval Art in Anatolia. Nexus Network Journal (Springer). 2018, 20 (1): 125–152.
- ^ 6.0 6.1 Uniform Polyhedra 03: Octahemioctahedron. mathconsult. [2016-08-31]. （原始内容存档于2020-02-17）.
- ^ 7.0 7.1 7.2 Vladimir Bulatov. octahemioctacron. Polyhedra Collection, bulatov.org. [2021-07-30]. （原始内容存档于2020-02-23）.
- ^ The Octahemioctahedron. 西密西根大學. [2016-08-31]. （原始内容存档于2016-03-14）.
- ^ David A. Richter. The Octahemioctahedron. [2016-08-31]. （原始内容存档于2016-03-14）.
- ^ Jean Paul Albert Badoureau, Mémoire sur les Figures Isocèles, Journal de l'École polytechnique 49 (1881), 47-172.
- ^ Versi-Regular Polyhedra: Octahemioctahedron. dmccooey.com. [2016-08-31]. （原始内容存档于2019-10-03）.
- ^ Klitzing, Richard. octahemioctahedron, oho. bendwavy.org. [2021-09-06]. （原始内容存档于2021-01-23）.
- ^ Gijs Korthals Altes. 作為簡單多面體的八面半八面體展開圖 (PDF). korthalsaltes.com. [2016-08-31]. （原始内容 (PDF)存档于2016-06-15）.
- ^ Robert Webb. Octahemioctahedron. software3d.com. [2021-09-07]. （原始内容存档于2021-07-29）.
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- ^ Weisstein, Eric W. (编). Cubohemioctahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ 23.0 23.1 Sloane, N.J.A. (编). Sequence A274974 (Centered octahemioctahedral numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.