区间套

在數學中，一串區間套是實數中的一串區間I_n（n=1, 2, 3, ...），使得對於每個n都有I_{n + 1} 是I_n的子集，有時我們要求它是真子集。換而言之，在這串區間中，區間從左邊逐漸往右收縮，而在右邊逐漸往左收縮。

一串區間套中的4個成員之示例

關於區間套的主要問題在於探討所有區間I_n的交集（記作J）的性狀。

事實上，當I_n都是開集時，J有可能為空集。例如開區間套(0, 2⁻ⁿ)的交集就是空集：任何一個正數x都在n充分大之後大於2⁻ⁿ，故而x不在J中。

但對於閉集而言，情況有所不同。事實上，我們有閉區間套定理，這一定理刻劃了實數的完備性。定理聲稱對於任一的有界閉區間套I_n（例如I_n = [a_n, b_n]並滿足a_n ≤ b_n），它們的交集I_n非空，且為閉區間$[\lim _{n\to \infty }a_{n},\lim _{n\to \infty }b_{n}]$；特別地，假若$\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}-b_{n}=0$，則它們的交集J為一個包含且僅包含$\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}$的單點集。

參考文獻

• Fridy, J. A., 3.3 The Nested Intervals Theorem, Introductory Analysis: The Theory of Calculus, Academic Press: 29, 2000 [2020-02-24], ISBN 9780122676550, （原始内容存档于2019-07-11） .
• Shilov, Georgi E., 1.8 The Principle of Nested Intervals, Elementary Real and Complex Analysis, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications: 21–22, 2012 [2020-02-24], ISBN 9780486135007, （原始内容存档于2019-07-11） .
• Sohrab, Houshang H., Theorem 2.1.5 (Nested Intervals Theorem), Basic Real Analysis, Springer: 45, 2003 [2020-02-24], ISBN 9780817642112, （原始内容存档于2019-07-11） .