罗德里格公式

罗德里格公式(英語:Rodrigues' formula),舊稱為艾沃里–雅可比公式,是一個關於勒壤得多項式的公式,分別被 欧林 罗德里格 (1816詹姆斯 艾沃里 (1824卡爾 雅可比 (1827所獨立發現。在埃爾米特於1865年指出罗德里格是第一個發現的人後,Heine在1878年建議使用「罗德里格公式」此名稱。此名稱亦被用於其它正交多项式的相似公式中。Askey (2005)詳述了罗德里格公式的歷史。

敍述

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 為一正交多項式序列,並滿足以下條件:

 
其中  為權函數, 為與 有關之常數, 則是克羅內克δ函數。如果權函數 滿足以下微分方程(又稱Pearson微分方程):
 
其中  為次數最高為一的多項式, 為次數最高為二的多項式;且以下極限成立:
 
那麼我們可以證明 滿足以下遞迴關係式
 
其中 為常數。此關係式稱為「罗形公式」或是簡稱為「罗德里格公式」[1]

罗形公式最常見的應用為勒壤得多項式拉蓋爾多項式埃爾米特多項式

勒壤得多項式 ,罗德里格描述他的公式如下:

 

拉蓋爾多項式通常被記為L0L1, ⋯⋯,其罗形公式可被寫為:

 

埃爾米特多項式的罗德里格公式則為:

 

其他從史特姆-萊歐維爾方程所得之正交函數序列也有類似的公式,這些公式也被稱為罗德里格公式(或是罗形公式),特別是所得函數為多項式時。

參考資料

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  1. ^ Rodrigues formula – Encyclopedia of Mathematics. www.encyclopediaofmath.org. [2018-04-18]. (原始内容存档于2018-04-18) (英语).