海伦公式

通过已知三角形三边之长求得三角形面积的公式

海伦公式(英語:Heron's formula或Hero's formula),又譯希罗公式[1]希倫公式。由古希臘數學家亞歷山大港的希羅發現,並在其於公元60年所著的《Metrica》中載有數學證明,原理是利用三角形的三條邊長求取三角形面積。亦有認為更早的阿基米德已經了解這條公式,因为《Metrica》是一部古代數學知識的結集,该公式的發現時間很有可能先於希羅的著作。[2]

假設有一個三角形,邊長分別為,三角形的面積可由以下公式求得:

,其中

中国南宋末年數學家秦九韶发现或知道等價的公式,其著作《數書九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,里法三百步,欲知为田几何?”答曰:“三百十五顷.”其术文是:“以小斜幂併大斜幂,減中斜幂,餘半之,自乘於上;以小斜幂乘大斜幂,減上,餘四約之,爲實,一為從隅,開平方,得積。”若以大斜记为,中斜记为,小斜记为,秦九韶的方法相当于下面的一般公式:

,其中

像其他中國古代的數學家一样,他的方法沒有證明。根據现代數學家吴文俊的研究,秦九韶公式可由出入相補原理得出。

由於任何边的多邊形都可以分割成个三角形,所以海伦公式可以用作求多邊形面積的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。

证明 编辑

利用三角公式和代数式变形来证明 编辑

与希羅在他的著作《Metrica》中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边 的对角分别为 ,则余弦定理

 

利用和平方差平方平方差等公式,从而有

 
 

利用勾股定理和代数式变形来证明 编辑

 
 
 
 
 
 
 
 

用旁心來證明 编辑

 中, 

 為內心, 為三旁切圓。

 

 四點共圓,並設此圓為圓 

  1.  做鉛直線交  ,再延長 ,使之與圓 交於 點。再過 做鉛直線交  點。
  2. 先證明 為矩形: ,又 (圓周角相等)。 為矩形。因此, 
  3.  內切圓半徑  旁切圓半徑 。且易知 。由圓冪性質得到: 。故  

資料來源 编辑

  1. ^ 香港大學教育學院母語教學教師支援中心:數學科詞彙表. [2009-07-06]. (原始内容存档于2009-06-16). 
  2. ^ Weisstein, Eric W. (编). Heron's Formula. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2009-07-06]. (原始内容存档于2015-09-05) (英语). 

參見 编辑

外部連結 编辑