n为正整数时
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- 当n为正整数时,q阶乘幂定义为
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n为0时
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- 当n为0时,q阶乘幂定义为
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n为无穷大时
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- 与一般的阶乘幂不同的是,q阶乘幂可以扩展成一个无穷乘积
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- 这时它是一个关于q在单位圆盘内的解析函数,也可以考虑为一个关于q的形式幂级数。其中一个特殊情况
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- 被称为欧拉函数。
n为负数时
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- 有限q阶乘幂可以用无穷q阶乘幂表示
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- 这样就能把q阶乘幂扩展到n为负整数的情况:对于非负整数n,有
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- 以及
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多变量的写法
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因为很多关于q阶乘幂的等式都含有多个q阶乘幂相乘,因此在标准写法中用一个含有多个变量的q阶乘幂来表示这个乘积:
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参考文献
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