对数凸函数超凸函数[1]为一种定义在实数向量空间凸集内,且其值为正数的函数f,若 (函数f对数后的数值)仍为凸函数,原函数即为对数凸函数。对数函数会大幅降低函数成长的速率,因此若取对数后仍为凸函数,表示函数上升的速度比凸函数还快,因此会称为超凸函数。

对数凸函数f 本身是凸函数,因为这是递增凸函数(依定义是凸函数)的复合函数。但凸函数和对数的复合函数不一定都是凸函数。像是凸函数,但不是凸函数,因此不是对数凸函数。另一方面,是对数凸函数因为是凸函数。

像在正实数英语Positive real numbers上的Γ函数就是对数凸函数(参见波尔-莫勒鲁普定理英语Bohr–Mollerup theorem)。

参考资料

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  1. ^ Kingman, J.F.C. 1961. A convexity property of positive matrices. Quart. J. Math. Oxford (2) 12,283-284.
  • John B. Conway. Functions of One Complex Variable I, second edition. Springer-Verlag, 1995. ISBN 0-387-90328-3.
  • Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004. ISBN 9780521833783.

相关条目

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logarithmically convex function at PlanetMath.