定常系统

在经典力学里，如果一个系统的所有约束都是定常约束（scleronomous constraint），则称此系统为定常系统（scleronomous system）。定常约束显性地不含时间。假若约束显性地含时间，则称此约束为非定常约束。

应用编辑

主要项目：广义速度

在三维空间里，一个质量为 $m$ 、速度为 $\mathbf {v}$ 的粒子的动能是

T={\frac {1}{2}}mv^{2}

。

速度是位置 $\mathbf {r}$ 对于时间 $t$ 的导数。应用偏微分连锁律，可以得到

\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{dq_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{dt}}

；

其中， $q_{i}$ 是第 $i$ 个广义坐标， ${\dot {q}}_{i}$ 是对应的广义速度。

所以，

T={\frac {1}{2}}m\sum _{i}\ \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}

。

将方程式展开^[1]，动能可以分为三个项目表示：

T=T_{0}+T_{1}+T_{2}

；

其中，

T_{0}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}

，

T_{1}=\sum _{i}\ m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}

，

T_{2}=\sum _{i,j}\ {\frac {1}{2}}m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j},\!

。

$T_{0}$ 、 $T_{1}$ 、 $T_{2}$ 分别为广义速度 ${\dot {q}}_{i}$ 的0次、1次、2次齐次函数。如果这系统是定常系统，位置不显性地含时间， ${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=0$ ，则只有 $T_{2}$ 不等于零。所以， $T=T_{2}$ ，动能是广义速度的2次齐次函数。