范数 (域论)

在域论，范数是一种映射。

设$K$为域，$L$是$K$的有限代数扩张。将$\alpha$与$L$的一个元素相乘，是一个线性变换：

$m_{\alpha }:L\to L$

$N_{L/K}(\alpha )$定义为$m_{\alpha }$的行列式。

因此可得$N_{L/K}$的性质：

• $N_{L/K}(\alpha )\in K\forall \alpha \in L$
• $N_{L/K}(\alpha \beta )=N_{L/K}(\alpha )N_{L/K}(\beta )$

若$L/K$为伽罗瓦扩张，$N_{L/K}(\alpha )$是$\alpha$所有共轭的积，即是$\alpha$的极小多项式的所有根的积。

代数整数的范数仍是代数整数。

在代数数论亦可为理想定义范数。若$I$是代数数域$K$的整数域$O_{k}$中的理想，$N(I)$是$O_{k}/I$的剩馀类的数目。

例子

• 复数的范数：对于$a,b\in \mathbb {R}$，对于复数此一实数域扩张，$N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}$，即复数和其共轭复数之积，因为$a+bi$在$\mathbb {R}$的极小多项式的根是$a\pm bi$。
• 设$L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}),K=\mathbb {Q} ,\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2$（黄金分割）。$N(\varphi )=(1-{\sqrt {5}})(1+{\sqrt {5}})/4=1$，因为它在$L$的极小多项式是$x^{2}-x-1$。