逆序对

在计算机科学和离散数学中，一个序列的逆序（inversion）对，是失去自然次序的元素对。

这个置换中的一个逆序对，表示为位置对（2,4）或元素对（5,2）。
这个置换的逆序，使用基于位置表示法表示为：(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)和(2, 5)；
或者使用基于元素表示法表示为：(3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2)和(5, 4)。

定义

逆序

一个四元素置换的从基于位置逆序到基于元素逆序的映射。

设$\ \pi \$为一个排列，如果$\ i<j\$而且$\ \pi (i)>\pi (j)\$， 这个位置（有称为“序位”）对$\ (i,j)\$，或者这个元素对$\ {\bigl (}\pi (i),\pi (j){\bigr )}\$，被称为是$\ \pi \$的一个逆序。

逆序集是所有逆序的集合。一个排列$\ \pi \$的使用基于位置表示法的逆序集，相同于其反向排列$\ \pi ^{-1}\$的使用基于元素表示法的逆序集，只有每个有序对的两个分量交换位置，反之亦然。

通常逆序是对于排列的定义，但也可以用于序列： 设$\ S\$是一个序列（或多重集排列）。如果$\ i<j\$而且$\ S(i)>S(j)\$， 这个位置对$\ (i,j)\$，或者这个元素对$\ {\bigl (}S(i),S(j){\bigr )}\$，被称为是$\ S\$的一个逆序。

对于序列，根据基于元素定义的逆序不是唯一性的，因为不同的位置对上可能有相同的值对。

逆序数

序列$\ X=\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle \$的逆序数$\ {\mathtt {inv}}(X)\$，是逆序集的势，它常用于量度排列或序列的已排序程度（有时叫做预排序度presortedness）。逆序数在$\ 0\$至$\ {\frac {n(n-1)}{2}}\$之间，含二者。

在一个排列的箭头指向图中，它是箭头指向相交叉的数，也是从单位排列而得到的Kendall tau距离，以及每个与逆序有关的向量之和，它们在后面章节中定义。

对于逆序数，基于位置与基于元素定义之间的分别并不重要，因为排列及其反向排列都具有相同的逆序数。

其它测量（预先）排序程度的方式，包括了为排好序列而从序列中可以删除元素的最小数量，对序列所“运行”排序的次数和长度，每个元素在已排序位置之上的距离总和（Spearman footrule），以及排序过程中必需的最少交换次数。比较排序算法计算逆序数的时间为$\ O(n\log n)\$。

目前求逆序对数目比较普遍的方法，是利用归并排序做到$\ O(n\log n)\$的时间复杂度；也可以利用树状数组、线段树来实现这种基础功能。复杂度均为$\ O(n\log n)\$。

逆序有关的向量

有三个类似的向量用于将排列的逆序，压缩到能唯一确定它的这个向量中。它们通常被称为逆序向量或Lehmer码。这里的定义及公式来源于逆序 (离散数学)。

本文将逆序向量记为$\ v\$，其它的两个向量有时分别称为“左”和“右”逆序向量；为了避免与前面的逆序向量混淆，本文将另两个分别称为“左逆序计数”$\ l\$和“右逆序计数”$\ r\$。左逆序计数是以反向colexicographic次序的排列，右逆序计数则是以字典序的排列。

Rothe图

逆序向量$\ v\$：
采用基于元素的定义，$\ v(i)\$是有序对较小（右）分量为$\ i\$的逆序数。

$\ v(i)\$是在$\ \pi \$之中于$\ i\$之前，大于$\ i\$的元素的数量。

$v(i)~~=~~\#\{k\mid k>i~\land ~\pi ^{-1}(k)<\pi ^{-1}(i)\}$

其更符合直觉的定义方式为：

$\ v{\bigl (}\pi (i){\bigr )}\$是在$\ \pi \$之中于$\ \pi (i)\$之前，大于$\ \pi (i)\$的元素的数量。

$v{\bigl (}\pi (i){\bigr )}~~=~~\#\{k\mid k<i~\land ~\pi (k)>\pi (i)\}~~=~~l(i)$

后者定义也适用于没有反向对应者的序列。

左逆序计数$\ l\$：
采用基于位置的定义，$\ l(i)\$是有序对较大（右）分量为$\ l(i)\$的逆序数。

$\ l(i)\$是在$\ \pi (i)\$之中于$\ \pi (i)\$之前，大于$\ \pi (i)\$的元素的数量。

$l(i)~~=~~\#\left\{k\mid k<i~\land ~\pi (k)>\pi (i)\right\}$

右逆序计数$\ r\$，通常称为Lehmer码：
采用基于位置的定义，$\ r(i)\$是有序对较小（左）分量为$\ i\$的逆序数。

$\ r(i)\$是$\ \pi (i)\$之中于$\ \pi (i)\$之后，小于$\ \pi (i)\$的元素的数量。

$r(i)~~=~~\#\{k\mid k>i~\land ~\pi (k)<\pi (i)\}$

$\ l\$和$\ v\$之间的关系：

$v(i)~~=~~l{\bigl (}\pi ^{-1}(i){\bigr )}$

$l(i)~~=~~v{\bigl (}\pi (i){\bigr )}$

$\ l\$的第一个数字和$\ v\$的最后一个数字总是$\ 0\$，可以省略。

Rothe图可以协助找出$\ v\$和$\ r\$。Rothe图是以黑点来表示1的排列矩阵，每一个位置上若为逆序（通常以叉号表示），则在其右侧与下方即有一点。$\ r(i)\$是图中第$\ i\$列排列逆序的加总，而$\ v(i)\$是$\ i\$栏中排列逆序的加总。排列矩阵的逆矩阵即是此矩阵的转置矩阵，因此某一排列的$\ v\$即是它转置矩阵的$\ r\$，反之亦然。

$\ r\$和$\ l\$之间的关系：

$\pi (i)~~=~~i+r(i)-l(i)$

范例：四个元素的全部排列

四个元素的6种可能逆序

下面可排序表显示了四个元素的集合，它的逆序集会有不同位置的24种排列、逆序相关向量和逆序数（右栏是它的反向排列，用于以colex排序）。可以看出$\ v\$和$\ l\$的位数总是相同，而$\ l\$和$\ r\$与位逆序集有关。 最右侧栏是排列左上右下对角线的总和，如三角形图示，以及$\ r\$是左下右上对角线的总和（配对在下降对角线中其右侧都是$\ 2,3,4\$组成，而在上升对角线中的左侧都是$\ 1,2,3\$组成）。 此表中$\ \pi \$的预设排序是反向colex次序，这与$\ l\$的colex次序相同。$\ \pi \$的字典序与$\ r\$的字典序相同。

用于比较的三个元素全部排列表
0 1 2 3 4 5 $\pi$ $v$ $l$ p-b $r$ # 0 123 321 000 000 000 000 000 000 0 1 213 312 100 001 010 010 100 001 1 2 132 231 010 010 100 001 010 010 1 3 312 213 110 011 110 011 200 002 2 4 231 132 200 002 200 002 110 011 2 5 321 123 210 012 210 012 210 012 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

$\pi$ $v$ $l$ p-b $r$ # 0 1234 4321 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0 1 2134 4312 1000 0001 0010 0100 1000 0001 1 2 1324 4231 0100 0010 0100 0010 0100 0010 1 3 3124 4213 1100 0011 0110 0110 2000 0002 2 4 2314 4132 2000 0002 0200 0020 1100 0011 2 5 3214 4123 2100 0012 0210 0120 2100 0012 3 6 1243 3421 0010 0100 1000 0001 0010 0100 1 7 2143 3412 1010 0101 1010 0101 1010 0101 2 8 1423 3241 0110 0110 1100 0011 0200 0020 2 9 4123 3214 1110 0111 1110 0111 3000 0003 3 10 2413 3142 2010 0102 1200 0021 1200 0021 3 11 4213 3124 2110 0112 1210 0121 3100 0013 4 12 1342 2431 0200 0020 2000 0002 0110 0110 2 13 3142 2413 1200 0021 2010 0102 2010 0102 3 14 1432 2341 0210 0120 2100 0012 0210 0120 3 15 4132 2314 1210 0121 2110 0112 3010 0103 4 16 3412 2143 2200 0022 2200 0022 2200 0022 4 17 4312 2134 2210 0122 2210 0122 3200 0023 5 18 2341 1432 3000 0003 3000 0003 1110 0111 3 19 3241 1423 3100 0013 3010 0103 2110 0112 4 20 2431 1342 3010 0103 3100 0013 1210 0121 4 21 4231 1324 3110 0113 3110 0113 3110 0113 5 22 3421 1243 3200 0023 3200 0023 2210 0122 5 23 4321 1234 3210 0123 3210 0123 3210 0123 6

排列的弱次序

对称群的Permutohedron S₄

n物品排列的集合其部份次序的结构，称为排列的弱次序，而构成格。 以逆序集的子集关系绘出的哈斯图，则构成了称为permutohedron的骨架。 如果依位置将某一排列分配给每个逆序集，所得到的排序是permutohedron的次序，其中的边对应于连续两元素的交换。这是排列的弱排序。The identity is its minimum, and the permutation formed by reversing the identity is its maximum. 如果依元素将某一排列分配给每个逆序集，所得到的排序将是凯莱图的次序，其中的边对应于连续两元素的交换。对称组的凯莱图与其permutohedron相似，但是每个排列由其反向替换。

参见

• 阶乘进制
• 置换群
• 置换的奇偶性

引用

参考书目

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• Bóna, Miklós. 2.2 Inversions in Permutations of Multisets. Combinatorics of permutations. Boca Raton, FL: CRC Press. 2012. ISBN 978-1439850510. 
• Comtet, Louis. 6.4 Inversions of a permutation of [n]. Advanced combinatorics; the art of finite and infinite expansions. Dordrecht,Boston: D. Reidel Pub. Co. 1974. ISBN 9027704414. 
• Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford. Introduction to Algorithms 2nd. MIT Press and McGraw-Hill. 2001. ISBN 0-262-53196-8. 
• Gratzer, George. 7-2 Basic objects. Lattice theory. special topics and applications. Cham, Switzerland: Birkhäuser. 2016. ISBN 978-3319442358. 
• Kleinberg, Jon; Tardos, Éva. Algorithm Design. 2005. ISBN 0-321-29535-8. 
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• Pemmaraju, Sriram V.; Skiena, Steven S. Permutations and combinations. Computational discrete mathematics: combinatorics and graph theory with Mathematica. Cambridge University Press. 2003. ISBN 978-0-521-80686-2. 
• Vitter, J.S.; Flajolet, Ph. Average-Case Analysis of Algorithms and Data Structures. van Leeuwen, Jan (编). Algorithms and Complexity 1 2nd. Elsevier. 1990. ISBN 978-0-444-88071-0. 

延伸阅读

• Margolius, Barbara H. Permutations with Inversions. Journal of Integer Sequences. 2001, 4. 

预排序度测度

• Mannila, Heikki. Measures of presortedness and optimal sorting algorithms. IEEE Transactions on Computers. April 1985, C–34 (4): 318–325. doi:10.1109/tc.1985.5009382. 
• Estivill-Castro, Vladimir; Wood, Derick. A new measure of presortedness. Information and Computation. 1989, 83 (1): 111–119. doi:10.1016/0890-5401(89)90050-3 . 
• Skiena, Steven S. Encroaching lists as a measure of presortedness. BIT. 1988, 28 (4): 755–784. S2CID 33967672. doi:10.1007/bf01954897.