柯西-利普希茨定理

在數學中，柯西-利普希茨定理（Cauchy-Lipschitz Theorem），又稱皮卡-林德勒夫定理（Picard-Lindelöf Theorem），保證了一階常微分方程的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奧古斯丁·路易·柯西於1820年發表，但直到1868年，才由魯道夫·利普希茨給出確定的形式。另一個很常見的叫法是皮卡-林德勒夫定理，得名於數學家埃米爾·皮卡和恩斯特·林德勒夫。

局部定理

設E為一個完備的有限維賦範向量空間（即一個巴拿赫空間），f為一個取值在E上的函數：

${\begin{matrix}f:&U\times I&\longrightarrow &E\\&(x,t)&\longmapsto &f(x,t)\end{matrix}}$

其中U為E中的一個開集，I是$\mathbb {R}$中的一個區間。考慮以下的一階非線性微分方程：

${\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=f(x(t),t)\qquad \qquad (1)$

如果f關於t連續，並在U中滿足利普希茨條件，也就是說，

$\exists \kappa >0,\ \forall t\in I,\ \forall x,y\in U,\ \left|f(x,t)-f(y,t)\right|\leq \kappa \left|x-y\right|$

那麼對於任一給定的初始條件： $x(t_{0})=x_{0}$，其中 $t_{0}\in I$、$x_{0}\in U$，微分方程（1）存在一個解 $(J,x(t))$，其中 $J\subset I$ 是一個包含 $t_{0}$ 的區間，$x(t)$ 是一個從 $J$ 射到 $U$ 的函數，滿足初始條件和微分方程（1）。

局部唯一性：在包含點$t_{0}$的足夠小的$J$區間上，微分方程（1）的解是唯一的（或者說，方程所有的解在足夠小的區間上都是重疊的）。

這個定理有點像物理學中的決定論思想：當我們知道了一個系統的特性（微分方程）和在某一時刻系統的情況（$x(t_{0})=x_{0}$）時，下一刻的情況是唯一確定的。

局部定理的證明

一個簡潔的證明思路為構造一個總是滿足初始條件的函數遞歸序列$y_{n+1}=\Phi (y_{n})$，使得$\Phi ^{\prime }(y_{n})=f(y_{n},t)$，這樣，如果這個序列有一個收斂點 $y$ ，那麼$y$為函數$\Phi$的不動點，這時就有$y^{\prime }=\Phi ^{\prime }(y)=f(y,t)$，於是我們構造出了一個解$y$。為此，我們從常數函數

$y_{0}(t)=x_{0}\$開始。令

$\Phi (y_{i})(t)=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(y_{i}(s),s)\,ds.$

這樣構造出來的函數列$(y_{i})_{i\geq 0}$中的每個函數都滿足初始條件。並且由於 $f$ 在 $U$ 中滿足利普希茨條件，當區間足夠小的時候，$\Phi$成為一個收縮映射。根據完備空間的不動點存在定理，存在關於$\Phi$的穩定不動點，於是可知微分方程（1）的解存在。

由於收縮映射的局部穩定不動點只有一個，因此在足夠小的區間內解是唯一的。

最大解定理

局部的柯西-利普希茨定理並沒有說明在較大區域上解的情況。事實上，對於微分方程（1）的任意解$\ (J,x(t))$、$(J^{\prime },x^{\prime }(t))$，定義一個序關係：$\ (J,x(t))$小於$(J^{\prime },x^{\prime }(t))$當且僅當 $J\subset J^{\prime }$，並且$x^{\prime }(t)$在$\ J$上的值與$\ x(t)$一樣。在這個定義之下，柯西-利普希茨定理斷言，微分方程的最大解是唯一存在的。

證明思路

解的唯一性：假設有兩個不同的最大解，那麼由局部柯西-利普希茨定理可以證明其重疊部分的值相同，將兩者不同的部分分別延伸在重疊部分上，則會得到一個更「大」的解（只需驗證它滿足微分方程），矛盾。因此解唯一。

解的存在性：證明需要用到佐恩引理，構造所有解的併集。

擴展至高階常微分方程

對於一元的高階常微分方程

$F\left(t,y(t),y^{\prime }(t)\cdots y^{(n-1)}(t)\right)=y^{(n)}(t)\qquad \qquad (2)$，

只需構造向量$Y(t)=(y(t),y'(t),\ \dots ,\ y^{(n-1)}(t))$和相應的映射$\ \Phi$，就可以使得（2）變為$Y^{\prime }(t)=\Phi (Y(t),t)$。這時的初始條件為$Y(t_{0})=Y_{0}$，即

${\begin{matrix}y(t_{0})=y_{0}\\y^{\prime }(t_{0})=y_{1}\\\vdots \\y^{(n-1)}(t_{0})=y_{n-1}\end{matrix}}$

擴展至偏微分方程

對於偏微分方程，有柯西-利普希茨定理的擴展形式：柯西-克瓦列夫斯基定理，保證了偏微分方程的解的存在性和唯一性。

參見

• 常微分方程
• 柯西-克瓦列夫斯基定理
• 動力系統
• 初值問題
• 利普希茨條件
• 弗羅貝尼烏斯定理
• 皮亞諾存在性定理

參考資料

• 常微分方程（組）基本理論
• M. E. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 114, 1894, pp. 454-457. 網上版本可在 http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 找到（文中林德勒夫討論擴展了皮卡的一個早期證明）

相關鏈接

• 局部柯西-利普希茨定理的另一個證明，英文 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 湖北師範學院數學與統計學院，比較嚴格的討論，中文