橢圓算子是數學偏微分方程理論中的一類微分算子，它是拉普拉斯算子的泛化。橢圓算子定義為所有最高階導數的係數為正的微分算子，這意味着算子沒有實的特徵方向。
橢圓算子是典型的位勢論，並且它們頻繁地出現在靜電學和連續介質力學中。橢圓算子的正則性意味着它的解通常是光滑函數（如果算子的係數是光滑的）。雙曲（英語：Hyperbolic partial differential equation）方程和拋物方程的穩定解通常要求解橢圓方程。
R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 域 Ω {\displaystyle \Omega } 上的線性微分算子 L {\displaystyle L}
L u = ∑ | α | ≤ m a α ∂ α u {\displaystyle Lu=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }{\partial }^{\alpha }u}
被稱為橢圓算子，如果對任意 x ∈ Ω {\displaystyle x\in \Omega } ，任意非零 ξ ∈ R n {\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}} 滿足
∑ | α | = m a α ξ α ≠ 0 {\displaystyle \sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }{\xi }^{\alpha }\neq 0} 。
在許多應用中僅滿足上述條件還遠遠不夠，當 m = 2 k {\displaystyle m=2k} 時可用一致橢圓條件代替它： ( − 1 ) k ∑ | α | = 2 k a α ( x ) ξ α > C | ξ | 2 k , {\displaystyle (-1)^{k}\sum _{|\alpha |=2k}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }>C|\xi |^{2k},} 其中C是正常數。注意到橢圓性只依賴於最高階項。
非線性算子
L ( u ) = F ( x , u , ( ∂ α u ) ) | α | ≤ 2 k {\displaystyle L(u)=F(x,u,(\partial ^{\alpha }u))_{|\alpha |\leq 2k}}
是橢圓算子如果它關於 u {\displaystyle u} 的一階泰勒展開式在任意一點處都是線性橢圓算子。
為了說明問題，我們選取二階偏微分算子形式，
其中 D k = 1 − 1 ∂ x k {\displaystyle D_{k}={\frac {1}{\sqrt {-1}}}\partial _{x_{k}}} .如果滿足高階項係數矩陣x
為正定實係數對稱矩陣，則這樣的算子叫做橢圓算子。
域
上的線性微分算子
，任意非零
滿足
。
時可用一致橢圓條件代替它：
其中C是正常數。注意到橢圓性只依賴於最高階項。
的一階泰勒展開式在任意一點處都是線性橢圓算子。
.如果滿足高階項係數矩陣x
