波斯尼科夫塔

在代數拓撲和同倫論中，波斯尼科夫塔（Postnikov Tower或稱：波斯尼科夫系統）是關於CW復形在同倫意義下進行分解的一種方法。形象地說，給定一個連通的CW復形$\;X\;$，$\;X\;$可以分解成一系列CW復形的逼近，使得每一個復形都是它前面一個復形和一個Eilenberg-McLane空間(Eilenberg-McLance space)的纖維叢乘積。

具體地說，我們有如下定理：

定理: 任給一個連通的CW復形$\;X\;$，記其$\;q\;$階同倫群為$\;\pi _{q}\;$。對於每一個自然數$\;n\;$，存在一組的纖維叢$\;Y_{q}\to Y_{q-1},1<q\leq n\;$，其纖維(fiber)為$\;K(\pi _{q},q)\;$，和CW映射$\;X\to Y_{q}\;$，使得

1. 如下圖表可交換：

   

2. $\;X\to Y_{q}\;$誘導了階數小於等於$\;q\;$的同倫群的同構。

在上面的定理中，$\;K(\pi _{q},q)\;$為Eilenber-McLance空間，即$\;q\;$同倫群為$\;\pi _{q}\;$，其餘為0的CW復形。我們稱上面的纖維叢序列為Postnikov塔，並且有

$\;X\simeq \lim _{\longleftarrow }Y_{n}.\;$

構造

上述定理的證明過程實際上就是波斯尼科夫塔的構造過程。我們從構造$\;Y_{n}\;$開始：實際上，對於$\;X\;$，我們不停地往其上貼維數大於$\;n\;$的胞腔使得$\;X\;$的大於$\;n\;$階的同倫群都變得平凡，記之為$\;Y_{n}\;$，則我們有

$\;\pi _{q}(X)\cong \pi _{q}(Y_{n}),\quad q\leq n.\;$

按照同樣的方法，我們可以構造$\;Y_{n-1},\cdots ,Y_{1}\;$，並且有

$\;X\subset Y_{n}\subset Y_{n-1}\subset \cdots \subset Y_{2}\subset Y_{1},\;$

代數拓撲裡面的一個定理說，每一個包含映射實際上都可以看成一個纖維叢，那麼把上面這一串包含映射轉換成纖維叢的語言，就得到Postnikov塔，並且可以證明每個纖維都是一個Eilenberg-McLane空間$\;K(\pi _{q},q)\;$。

應用

如前所述，波斯尼科夫塔給出了CW復形的一種同倫意義下的分解。原則上，根據同倫正合列(homotopy exact sequence)或者塞爾譜序列我們可以根據一個CW復形的波斯尼科夫塔計算出該復形的同倫群和同調群。

雖然如此，波斯尼科夫塔的應用要等到 D. Quillen，陳國才(K.-T. Chen)特別是 D. Sullivan的有理同倫論發展以後才能夠得到更加精妙的應用。

自1980年代以來，物理特別是量子場論的思想非常深刻地影響了數學的發展。物理學家所用的一些工具，以及思考問題的方法在同倫論中也有所反映。波斯尼科夫塔，有理同倫論，還有前後出現的Stasheff的同倫結合性(homotopy associativity)以及J. P. May等人提出的Operad概念，等等，經過量子場論的重新考察，已經非常緊密地聯繫起來，成為代數拓撲裡面一個非常活躍的研究領域。

資料

關於一般的代數拓撲的書，可以參考

• R. Bott and L. Tu, Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982. 此書在中國大陸有影印本，由世界圖書出版公司發行。

關於有理同倫論，特別是Sullivan的思想以及跟Postnikov塔的關係，可以參考

• P. Griffiths and J. Morgan, Rational homotopy theory and differential forms. Progress in Mathematics, 16. Birkhäuser, Boston, Mass., 1981.

關於代數拓撲跟量子場論的密切關係，可以參考M. Atiyah, G. Segal以及Kontsevich等人的論文。