定義

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 的映射   的冪集的冪集)。這樣  的每個點 映射至 的子集族  稱為 鄰域系(或稱鄰域系統 的元素稱為 鄰域),當且僅當對任意的  滿足如下鄰域公理

  • U1:若 ,則 
  • U2:若 ,則 。(鄰域系對鄰域的有限交封閉)。
  • U3:若  ,則 
  • U4:若 ,則存在 ,使 且對所有 ,有 

從鄰域出發定義其它拓撲空間的基礎概念:

  • 鄰域定義開集 的子集 是開集,當且僅當對任意 ,有 。( 是其中每個點的鄰域)。
  • 鄰域定義開核 的子集 的開核 
  • 鄰域定義閉包 的子集 的閉包 

參照濾子的定義。給定點x,其鄰域系 恰構成了一個濾子,稱為鄰域濾子

鄰域基

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 鄰域基局部基 ,就是鄰域濾子 濾子基。它是 的子集,滿足:每個x的鄰域   都存在 ,使 

 ,使  

反之,給出鄰域基 ,可以反推出相應的鄰域濾子: [1]

例子

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  • 一個點的鄰域系也平凡的是這個點的鄰域基。
  • 若拓撲空間X不可分拓撲,則任何點 x 的鄰域系是整個空間 
  • 度量空間中,對於任何點 x,圍繞 x 有半徑 1/n開球序列形成可數鄰域基  。這意味着所有度量空間都是第一可數的。
 
這是因為向量加法在引發的拓撲中是分離連續的。所以這個拓撲確定自它的在原點的鄰域系。更一般的說,只要拓撲是通過平移不變度量偽度量定義的以上結論就是真的。
  • 非空集合 A 的所有鄰域系是叫做 A 的鄰域濾子的濾子
  • 拓撲空間 X 中所有點 x 的局部基的併集是 X

參見

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註釋

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  1. ^ Stephen Willard, General Topology (1970) Addison-Wesley Publishing (See Chapter 2, Section 4)