在數學中,閔可夫斯基不等式(Minkowski inequality)表明Lp空間是一個賦范向量空間。設
是一個測度空間,
,那麼
,我們有:
![{\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1d3de762058656808721fc899c4b223914c6c3f)
如果
,等號成立當且僅當
,或者
.
閔可夫斯基不等式是
中的三角不等式。它可以用赫爾德不等式來證明。和赫爾德不等式一樣,閔可夫斯基不等式取可數測度可以寫成序列或向量的特殊形式:
![{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63a5b5165851e5567457995651dadc822b79752a)
將所有實數
(
為
的維數)改成複數同樣成立。
值得指出的是,如果
,
,則
可以變為
.
我們考慮 的 次冪:
(用三角形不等式展開 )
(用赫爾德不等式)
(利用 ,因為 )
現在我們考慮這個不等式序列的首尾兩項。首項除以尾項的最後一個因子,即得
這正是我們所要的結論。
對於序列的情形,證明是完全類似的。