在純數學分支抽象代數中,MV-代數(多值代數)是帶有二元運算 一元運算 和常量 的滿足特定公理的代數結構多值邏輯是 MV-代數的模型

定義

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A 是個集合MV-代數代數結構,帶有型   的標識(signature)  ,它滿足如下恆等式:

  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  .

備註:通過前三個公理   是交換幺半群

或者作為替代,MV-代數是一個剩餘格   滿足額外恆等式

 

Hájek (1998)描述了這兩個公式的等同。

例子

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一個簡單的例子是  ,帶有定義為    的運算。

討論

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在多值邏輯中,給定一個 MV-代數 A,一個 A-賦值就是從命題演算中公式的集合到 MV-代數的函數。如果對於所有 A-賦值這個函數把一個公式映射到 1(或  0),則這個公式是一個 A-重言式。因此對於無窮值邏輯(比如模糊邏輯武卡謝維奇邏輯),我們設 [0,1] 是 A 的下層集合來獲得 [0,1]-賦值和 [0,1]-重言式(經常就叫做賦值和重言式)。

Chang 發明 MV-代數來研究波蘭數學家揚·武卡謝維奇Jan Łukasiewicz)在 1920 年介入的多值邏輯。Chang 的完備定理(1958, 1959) 聲稱任何在 [0,1] 區間成立的 MV-代數等式也在所有 MV-代數中成立。通過這個定理,證明了無窮值的武卡謝維奇邏輯可以被 MV-代數所刻畫。後來同樣適用於模糊邏輯。這類似於在 {0,1} 成立的布爾代數等式在任何布爾代數中也成立,布爾代數因此刻畫了標準二值邏輯

引用

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  • Chang, C. C. (1958) "Algebraic analysis of many-valued logics," Transactions of the American Mathematical Society 88: 476-90.
  • ------ (1959) "A new proof of the completeness of the Lukasiewicz axioms," Transactions of the American Mathematical Society 88: 74-80.
  • Cignoli, R. L. O., D'Ottaviano, I, M. L., Mundici, D., 2000. Algebraic Foundations of Many-valued Reasoning. Kluwer.
  • Di Nola A., Lettieri A. (1993) "Equational characterization of all varieties of MV-algebras," Journal of Algebra 221: 123-31.
  • Hájek, Petr (1998) Metamathematics of Fuzzy Logic. Kluwer.

外部連結

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參見

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