算術-幾何平均值不等式

算術-幾何平均值不等式，簡稱算幾不等式，是一個常見而基本的不等式，表現算術平均數和幾何平均數之間恆定的不等關係。設$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$為 $n$ 個正實數，它們的算術平均數是$\mathbf {A} _{n}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$，它們的幾何平均數是 $\mathbf {G} _{n}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}$。算術-幾何平均值不等式表明，對任意的非負實數$x_{1},\ldots ,x_{n}$：

$\mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}$

等號成立若且唯若 $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$ 。

通常用於兩個數之間，設這兩個數為$a$和$b$，也就是${\frac {a+b}{2}}\geqslant {\sqrt {ab}}$

算術-幾何平均值不等式僅適用於正實數，是對數函數之凹性的體現，在數學、自然科學、工程科學以及經濟學等其它學科都有應用。

算術-幾何平均值不等式有時被稱為平均值不等式（或均值不等式），其實後者是一組更廣泛的不等式。

例子

在 $n=4$ 的情況，設：$x_{1}=3.5,\ x_{2}=6.2,\ x_{3}=8.4,\ x_{4}=5$，那麼

$\mathbf {A} _{4}={\frac {3.5+6.2+8.4+5}{4}}=5.775,\ \mathbf {G} _{4}={\sqrt[{4}]{3.5\times 6.2\times 8.4\times 5}}\approx 5.4945$

可見$\mathbf {A} _{4}\geq \mathbf {G} _{4}$。

歷史上的證明

歷史上，算術-幾何平均值不等式擁有眾多證明。$n=2$的情況很早就為人所知，但對於一般的 $n$，不等式並不容易證明。1729年，英國數學家麥克勞林最早給出一般情況的證明，用的是調整法，然而這個證明並不嚴謹，是錯誤的。

柯西的證明

1821年，法國數學家柯西在他的著作《分析教程》中給出一個使用逆向歸納法的證明：

命題$P_{n}$：對任意的 $n$ 個正實數$x_{1},\ldots ,x_{n}$，$\mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}$

當 $n=2$ 時，$P_{2}$顯然成立。假設 $P_{n}$ 成立，那麼 $P_{2n}$ 成立。證明：對於$2n$ 個正實數$x_{1},\cdots ,x_{n},y_{1},\cdots ,y_{n}$，

${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+y_{1}+\cdots y_{n}}{2n}}=\ {\frac {1}{2}}\left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}+{\frac {y_{1}+\cdots +y_{n}}{n}}\right)$

$\geq \ {\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}+{\sqrt[{n}]{y_{1}\cdot y_{2}\cdots y_{n}}}\right)\geq \ {\sqrt {{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}\cdot {\sqrt[{n}]{y_{1}\cdot y_{2}\cdots y_{n}}}}}$

$=\ {\sqrt[{2n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}y_{1}\cdot y_{2}\cdots y_{n}}}$

假設$P_{n}$成立，那麼$P_{n-1}$成立。證明：對於$n-1$ 個正實數$x_{1},\cdots ,x_{n-1}$，設$\mathbf {A} _{n-1}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}}$，$\mathbf {G} _{n-1}={\sqrt[{n-1}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n-1}}}$，那麼由於$P_{n}$成立， ${\frac {x_{1}+\cdots +x_{n-1}+\mathbf {A} _{n-1}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n-1}\mathbf {A} _{n-1}}}$。

但是 $x_{1}+\cdots +x_{n-1}=(n-1)\mathbf {A} _{n-1}$， $x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n-1}=\mathbf {G} _{n-1}^{n-1}$，因此上式正好變成

$\mathbf {A} _{n-1}^{n}\geq \mathbf {G} _{n-1}^{n-1}\mathbf {A} _{n-1}$

也就是說$\mathbf {A} _{n-1}\geq \mathbf {G} _{n-1}$

綜上可以得到結論：對任意的自然數 $n\geq 2$，命題 $P_{n}$ 都成立。這是因為由前兩條可以得到：對任意的自然數 $k$，命題 $P_{2^{k}}$ 都成立。因此對任意的 $n\geq 2$，可以先找 $k$ 使得 $2^{k}\geq n$，再結合第三條就可以得到命題 $P_{n}$ 成立了。

歸納法的證明

使用常規數學歸納法的證明則有喬治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代數論》（Algebra）的第二卷中給出的：

由對稱性不妨設 $x_{n+1}$ 是 $x_{1},x_{2}\cdots x_{n+1}$ 中最大的，由於 $\mathbf {A} _{n+1}={\frac {n\mathbf {A} _{n}+x_{n+1}}{n+1}}$ ，設 $x_{n+1}=\mathbf {A} _{n}+b$，則 $b\geq 0$，並且有 $\mathbf {A} _{n+1}=\mathbf {A} _{n}+{\frac {b}{n+1}}$。

根據二項式定理，

$\mathbf {A} _{n+1}^{n+1}=(\mathbf {A} _{n}+{\frac {b}{n+1}})^{n+1}\geq \mathbf {A} _{n}^{n+1}+(n+1)\mathbf {A} _{n}^{n}{\frac {b}{n+1}}=\mathbf {A} _{n}^{n}(\mathbf {A} _{n}+b)=\mathbf {A} _{n}^{n}x_{n+1}\geq \mathbf {G} _{n}^{n}x_{n+1}$

$=x_{1}x_{2}\cdots x_{n+1}=\mathbf {G} _{n+1}^{n+1}$

於是完成了從 $n$ 到 $n+1$ 的證明。

此外還有更簡潔的歸納法證明：

在 $n$ 的情況下有不等式 $\mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}$ 和 $x_{n+1}+(n-1)\mathbf {G} _{n+1}\geq n{\sqrt[{n}]{x_{n+1}\mathbf {G} _{n+1}^{n-1}}}$ 成立，於是：

${\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n}+x_{n+1}+(n-1)\mathbf {G} _{n+1}}{n}}\geq \mathbf {G} _{n}+{\sqrt[{n}]{x_{n+1}\mathbf {G} _{n+1}^{n-1}}}\geq 2{\sqrt[{2n}]{\mathbf {G} _{n}^{n}x_{n+1}\mathbf {G} _{n+1}^{n-1}}}=2\mathbf {G} _{n+1}$

所以 $(n+1)\mathbf {A} _{n+1}=x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n}+x_{n+1}\geq 2n\mathbf {G} _{n+1}-(n-1)\mathbf {G} _{n+1}=(n+1)\mathbf {G} _{n+1}$，從而有$\mathbf {A} _{n+1}\geq \mathbf {G} _{n+1}$。

基於琴生不等式的證明

注意到幾何平均數$\mathbf {G} _{n}$ 實際上等於 $\exp \left({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}\right)$，因此算術-幾何平均不等式等價於：

$\ln {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}$。

由於對數函數是一個凹函數，由琴生不等式可知上式成立。

基於排序不等式的證明

令 $b_{i}={\frac {a_{i}}{{\mathbf {G} }_{n}}}(i=1,2,3,...,n)$，於是有 $b_{1}b_{2}\cdots b_{n}=1$，再作代換 $b_{1}={\frac {c_{1}}{c_{2}}},b_{2}={\frac {c_{2}}{c_{3}}},\cdots ,b_{n}={\frac {c_{n}}{c_{1}}}$，運用排序不等式得到：

${\frac {c_{1}}{c_{2}}}+{\frac {c_{2}}{c_{3}}}+\cdots +{\frac {c_{n}}{c_{1}}}\geqslant {\frac {c_{1}}{c_{1}}}+{\frac {c_{2}}{c_{2}}}+...+{\frac {c_{n}}{c_{n}}}=n$，

於是得到 $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\geqslant n{\mathbf {G} }_{n}$，即原不等式成立。

此外還有基於伯努利不等式或藉助調整法、輔助函數求導和加強命題的證明。

推廣

算術-幾何平均不等式有很多不同形式的推廣。

加權算術-幾何平均不等式

不僅「均勻」的算術平均數和幾何平均數之間有不等式，加權的算術平均數和幾何平均數之間也有不等式。設 $x_{1},\cdots ,x_{n}$ 和 $p_{1},\cdots ,p_{n}$ 為正實數，並且 $p_{1}+p_{2}\cdots +p_{n}=1$，那麼：

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\cdots +p_{n}x_{n}\geq x_{1}^{p_{1}}x_{2}^{p_{2}}\cdots x_{n}^{p_{n}}$。

加權算術-幾何平均不等式可以由琴生不等式得到。

矩陣形式

算術-幾何平均不等式可以看成是一維向量的係數的平均數不等式。對於二維的矩陣，一樣有類似的不等式： 對於係數都是正實數的矩陣

${\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1k}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nk}\end{bmatrix}}$

設 $A_{j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}$，$G_{i}={\sqrt[{k}]{\prod _{j=1}^{k}a_{ij}}}$，那麼有：

${\sqrt[{k}]{A_{1}A_{2}\cdots A_{k}}}\leqslant {\frac {G_{1}+G_{2}+\cdots +G_{n}}{n}}$

也就是說：對 $k$ 個縱列取算術平均數，它們的幾何平均小於等於對 $n$ 個橫行取的 $n$ 個幾何平均數的算術平均。

極限形式

也稱為積分形式：對任意在區間$[0,1]$上可積的正值函數 $f$，都有

$\int _{0}^{1}f(x)dx\geq \exp(\int _{0}^{1}\ln f(x)dx)$

這實際上是在算術-幾何平均值不等式取成 ${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq \exp({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}})$ 後，將兩邊的黎曼和中的 $n$ 趨於無窮大後得到的形式。

算數-幾何-調和平均值不等式

若再規定$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$的調和平均數 $H={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}.$

則有

$\mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}\geq \mathbf {H} _{n}$

且等號依舊成立若且唯若 $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$ 。

證明由算數-幾何平均值不等式知

${\frac {{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{{\frac {1}{x_{1}}}{\frac {1}{x_{2}}}\cdots {\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}$

故

${\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}$

即

$\mathbf {G} _{n}\geq \mathbf {H} _{n}$

且等號成立於

${\frac {1}{x_{1}}}={\frac {1}{x_{2}}}=\cdots ={\frac {1}{x_{n}}}$

即

$x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$

參見

• 平均數不等式
• 算術平均數
• 幾何平均數
• 冪平均不等式
• 楊氏不等式

參考來源

• 匡繼昌，《常用不等式》，山東科技出版社。
• 李勝宏，《平均不等式與柯西不等式》，華東師大出版社。
• 莫里斯·克萊因（Morris Kline），張理京 張錦炎 江澤涵 譯，《古今數學思想》，上海科學技術出版社。
• 李興懷，《學科奧林匹克叢書·高中數學》，廣東教育出版社。