索伯列夫空間

函數組成的巴拿赫空間,其範數為函數自身的Lᵖ範數,及最初若干階導數Lᵖ範數的和

數學上,一個索伯列夫空間是一個由函數組成的賦範向量空間。對於某個給定的p ≥ 1,索伯列夫空間的範數函數fk導數和函數f有限Lp範數的結合。

索伯列夫空間以蘇聯數學家舍蓋·索伯列夫來命名。它的重要性體現在一些偏微分方程弱解在特定的索伯列夫空間存在,即使該偏微分方程在具有經典導數定義的連續函數空間不存在強解。

簡介

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對於數學函數的光滑性有很多種。最基本的要求可能就是函數要連續,更進一步的要求是可微(因為可微函數也是連續的),再強一些的概念是導數的連續性(這些函數稱為  — 參看光滑函數)。可微函數在很多領域相當重要,特別是在微分方程中。在二十世紀,人們發現 函數空間不是研究微分方程的解的恰當的空間。

而索伯列夫空間正是 空間的替代品,用於研究偏微分方程的解。

技術性討論

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我們從最簡單情況下的索伯列夫空間開始,也就是單位圓上的一維情況。在這個情況下,索伯列夫空間 定義為Lp的子集,使得f和它的直到k階的導數有一個有限的Lp範數,對於某個給定的p ≥ 1。定義正確意義上的導數時必須小心。在這個一維問題中,假設 是幾乎處處可微並且等於其導數的勒貝格積分(這可以排除康托函數這樣的例子)就足夠了。

按照這個定義,索伯列夫空間有一個自然的範數,

 

賦予了範數  是一個完備空間。實際上只要取序列中的第一項和最後一項就可以了,也即,如下的範數

 

和上述範數等價

例子

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有些索伯列夫空間有簡單的表述。例如,在一維情況, 就是絕對連續函數空間,而W1,∞李普希茲函數空間。還有, 可以自然地用其傅立葉級數的術語定義,也就是

 

其中 f的傅立葉級數。和前面一樣,可以採用等價的範數

 

兩個表達都可以從帕塞瓦爾定理以及微分等價於傅立葉係數乘以in這個事實導出。這個特殊情況很重要,因此有一個特別的符號, :

 

非整數k的索伯列夫空間

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為避免混淆,在討論不是整數k的時候,我們通常用s來取代它,也即 或者 

p = 2的情形

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p = 2的情形是最簡單的情形,因為傅立葉表述可以直接推廣。我們定義範數為

 

而索伯列夫空間 為具有有限範數的函數的空間。

分數階微分

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如果p不是2,就採取類似的方法。在這個情況下帕塞瓦爾定理不再成立,但是微分還是對應於在傅立葉域中的乘法,並且可以推廣到非整數階。因此,可以定義一個分數階微分算子其階為s,如下所示

 

換句話說,取傅立葉變換,乘以 再取逆傅立葉變換(定義為傅立葉-乘法-逆傅立葉的算子稱為乘子,這本身也是一個研究主題)。這使得我們可以定義 的索伯列夫範數如下

 

而且,跟平常一樣,索伯列夫空間是有有限索伯列夫範數的函數的空間。

復插值

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獲取「分數索伯列夫空間」的另一個辦法是採用復插值。復插值是一個通用的技術:對於任何0 ≤ t ≤ 1 和巴拿赫空間XY,且這二者都包含於某個更大的巴拿赫空間中,我們可以創建「過渡空間」,記為[X,Y]t。(後面將會討論到一個不同的方法,所謂的實插值方法,它對於跡的分類的索伯列夫理論有重要的意義)。


這樣的空間XY稱為插值對。

下面提一些關於復插值的有用的定理:

定理 (插值): [ [X,Y]a , [X,Y]b ]c = [X,Y]cb+(1-c)a.

定理 (算子的插值): 若{X,Y}{A,B}是插值對,並且若T是一個線性映射,定義與X+Y到A+B中,使得T在X到A和Y到B上連續,則T從[X,Y]t[A,B]t上連續。並且有如下的插值不等式:

 

參看: Riesz-Thorin定理

回到索伯列夫空間上來,我們要通過對幾個 的插值得到非整數s 。第一件事當然是看看這個可以給出一致的結果,而我們確實有

定理:  ,如果n是一個整數使得n=tm。

因此,復插值是一個得到一個空間 之間的空間 的一個連續統的一致的方法。而且,它給出了和分數階微分同樣的空間(但參看延拓算子中的一個變化)。

多維情況

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現在考慮在Rn及其子集上的索伯列夫空間。從圓到的變化只涉及傅立葉公式的技術細節 — 基本上就是將傅立葉級數變為傅立葉變換,將求和變為積分。到多維情況的轉換有更大的難度,從定義就開始變化。  的積分這個條件無法一般化,而最簡單的解決辦法是考慮分佈理論意義下的導數。

由此可以得到一個形式化的定義。令DRn中開集。定義索伯列夫空間

 

為定義於D上的函數f的族,使得對於滿足下式的每個多重索引 

 

 是一個函數,且

 

在它上面的一個合適的範數是所有這樣的α上的那些Lp範數的和。它是完備的,因此是一個巴拿赫空間。

實際上,這個方法在一維也成立,並且和前面分數階微分中所述並無多大區別。

例子

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在多維情況,有些結果不再成立,例如, 只包含連續函數。例如,1/|x|屬於 ,其中 是三維的單位球。對於足夠大的k 將只包含連續函數,但是對於哪個k才夠取決於p以及維數這二者。

但是,W1,∞ 的表述在做了必要的修改之後還是成立的。

索伯列夫嵌入

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索伯列夫空間  的子集。一個很自然的問題是:有沒有其它的Lp空間包含 索伯列夫嵌入定理給出一個簡單的表達(參看[1]):

定理:令  。則如下命題成立:

  1.   (作為集合)。而且,包含關係是一個有界算子
  2.   則所有有緊支撐的函數  的元素,其中 

s > ½。若X為開集,使得其邊界 G"足夠光滑",則我們可以定義映射P(也即,限制)如下

 

也即,u限制到邊界G上。一個可能的光滑條件是一致 ms。 (但是注意,這個矩陣跡沒有關係。)

這個跡映射P其定義域為 ,而其像正好是 。如果要完全形式化,P首先定義在無窮可微函數上,並且通過連續性擴展到整個 。注意取跡'失去了半個導數'。

確定 的跡映射的像要困難很多,需要使用實插值這個工具,在此不具體討論。其最後的結果是Besov空間。事實上,在 空間的情形,我們不是失去半個導數,我們失去了1/p個導數。

延拓算子

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X是開域,其邊界不是太不良(例如,如果其邊界為流形,或者滿足更寬鬆但更奇特的「錐條件」)則存在一個算子AX的函數到Rn的函數,使得:

  1. Au(x) = u(x) 對於幾乎所有X中的x以及
  2. A連續,從  ,對於任何1 ≤ p ≤ ∞ 以及整數k

我們稱算子AX的延拓算子。

延拓算子是最自然的定義非整數s 方法(我們不能直接在X進行,因為取傅立葉變化是一個整體操作)。我們定義 為:u屬於 若且唯若Au屬於 。等價的有,復插值產生同樣的 空間只要X存在一個延拓算子。如果X沒有一個延拓算子,復插值是唯一取得 空間的辦法。

因此,插值不等式仍然成立。

用零延拓

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我們定義 為無窮可微緊支撐函數的空間  中的閉包。給定一個跡的定義如上,我們可以給出如下命題

定理:令X為一致Cm正規空間,m ≥ s並令P為線性映射,將 中的u映射到

 

其中d/dn是垂直於G的導數,而k是最大的小於s的整數。則 正好是P的核。

 ,我們可以一種自然的方式定義它的零延拓 ,也就是

  ,否則 

定理:令s>½。將u變為 的映射是到 中的連續映射,若且唯若s不是形為n+½(對於某個整數n)。

參考

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  1. ^ Stein, E., 《奇異積分和函數的可微性》(Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions),普林斯頓大學出版社 (1970年)。 ISBN 0-691-08079-8