除以三
在數學中，除以三或三等分是指將一數學物件分割成3個相等的數學物件的操作。最知名的三等分問題為角的三等分問題，該問題已被證明單純用尺規作圖無法達成，而其他數學物件的三等分（如三等分線段）都可以輕易用尺規作圖完成而角的三等份則無法。
數 編輯
在數論中，除以三或將一數平分為三等分即為被除數的除數（分母）是三、或乘以三分之一的動作，同時也可以表示分母為3的分數。一般會針對除以三的一些性質進行探討，例如除以三的整除性，其可以透過數字根來檢查[1]。
二進制 編輯
一般二進制電腦要計算除以三仍然可以有比一般除法快的特殊操作，但沒有除以二那麼簡單，其做法為將二進位以兩位為單位位移，並且使位移覆蓋所有位置後加總其值，例如32為元整數要位移15次，每次位移2位，並且將這16個位移的結果加總，取前30位為商[2]。
三等分線段 編輯
將一個線段三等份僅需要在線段的其中之一端點作一射線，並從端點出發在射線上依序作出3個等距離的點，並將第三個點線段另一端點連線，並作平行於此線過射線上另外兩點的直線，該兩條直線與欲三等分的線段交於兩點，則這兩點則為欲三等分的線段之三等分點。簡而言之，即將已知長度線段延長三倍獲得一個已知的三等分線段後投影回欲三等分的線段即可完成線段的三等分。更具體的作法是已知線段AB[4]：
- 作一射線AC
- 在射線上以A為圓心固定半徑r作弧，交射線於D
- 再以D為圓心固定半徑r作弧，交射線於E
- 再以E為圓心固定半徑r作弧，交射線於F
- 連FB
- 過E和F分別作出與FB平行的直線L和M
- L和M交線段AB於P和Q
- 則有AP=PQ=QB，此時P和Q為線段AB的三等分點
三等分矩形 編輯
將一矩形三等份可以透過將對角線與由某邊上垂直平分線平分矩形為兩個矩形的兩個對角線的兩交點平行於前述垂直平分線的直線將矩形分成三等分。具體作法是有一個矩形ABCD[5]：
- 作對角線AC
- 在BC上作垂直平分線，交矩形於EF
- EF將矩形平均分成兩等分，ABFE和EFCD
- 作ABFE和EFCD的對角線EB和FD，並交AC於G和H
- 過G和H分別作出與EF平行的直線L和M
- L和K為矩形的三等分線
三等分角 編輯
三等分角是古希臘平面幾何里尺規作圖領域中的著名問題，與化圓為方及倍立方問題並列為尺規作圖三大難題。尺規作圖是古希臘人的數學研究課題之一，是對具體的直尺和圓規畫圖可能性的抽象化，研究是否能用規定的作圖法在有限步內達到給定的目標。三等分角問題的內容是：「能否僅用尺規作圖法將任意角度三等分？」
三等分角問題提出後，在漫長的兩千餘年中，曾有眾多的嘗試，但沒有人能夠給出嚴格的答案[6] 。隨着十九世紀群論和體論的發展，法國數學家皮埃爾·汪策爾首先利用伽羅瓦理論證明，這個問題的答案是否定的：不存在僅用尺規作圖法將任意角度三等分的通法。具體來說，汪策爾研究了給定單位長度後，能夠用尺規作圖法所能達到的長度值。所有能夠經由尺規作圖達到的長度值被稱為規矩數，而汪策爾證明了，如果能夠三等分任意角度，那麼就能做出不屬於規矩數的長度，從而反證出通過尺規三等分任意角是不可能的。
如果不將手段局限在尺規作圖法中，放寬限制或藉助更多的工具的話，三等分任意角是可能的。然而，作為數學問題本身，由於三等分角問題表述簡單，而證明困難，並用到了高等的數學方法，在已證明三等分角問題不可能之後後，仍然有許多人嘗試給出肯定的證明。[6]
參見 編輯
參考文獻 編輯
- ^ Weisstein, Eric W. (編). Digit Sum. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
- ^ Steven, GB, Integer division by small constants, University of Hertfordshire, 1990
- ^ N.A.Krinitsky; G.A.Mironov; G.D.Frolov. Chapter 10. Program-controlled machine Setun. M.R.Shura-Bura (編). Programming. Moscow. 1963 （俄語）.
- ^ n等分一給定線段(1):用尺規 (PDF). mathsgreat.com. [2019-10-05]. （原始內容存檔 (PDF)於2019-10-05）.
- ^ 摺A4三等分紙張. 昌爸工作坊. [2019-10-05]. （原始內容存檔於2019-09-04）.
- ^ 6.0 6.1 曹亮吉. 《三等分任意角可能吗？》. 原載於科學月刊第九卷第四期. episte.math.ntu.edu.tw. [2013-05-28]. （原始內容存檔於2014-06-23）.