雷諾數

在流體力學中，雷諾數（Reynolds number）是流體的慣性力${\frac {\rho v^{2}}{L}}$與黏性力${\frac {\mu v}{L^{2}}}$的比值，它是一個無因次量。

雷諾數較小時，黏滯力對流場的影響大於慣性力，流場中流速的擾動會因黏滯力而衰減，流體流動穩定，為層流；反之，若雷諾數較大時，慣性力對流場的影響大於黏滯力，流體流動較不穩定，流速的微小變化容易發展、增強，形成紊亂、不規則的紊流流場。

定義

雷諾數一般表示如下：

$\mathrm {Re} ={{\rho {\mathbf {\mathrm {V} } }L} \over {\mu }}={{{\mathbf {\mathrm {V} } }L} \over {\nu }}$

其中

• ${\mathbf {\mathrm {V} } }$是特徵速度（國際單位：m/s）
• ${L}$是特徵長度(m)
• ${\mu }$是流體動力黏度（Pa·s或N·s/m²）
• ${\nu }$ 是流體運動黏度（$\nu =\mu /$ρ）(m²/s)
• ${\rho }$是流體密度（kg/m³）

對於不同的流場，雷諾數可以有很多表達方式。這些表達方式一般都包括流體性質（密度、黏度）再加上流體速度和一個特徵長度或者特徵尺寸。特徵長度取決於觀察的流場情況，以及約定俗成的使用習慣。當觀察在水管中流動內流場，或是放在流場中的球體外流場時，前者可能會選擇水管直徑或是管長，而後者通常使用直徑作為特徵長度。而半徑和直徑對於球型、圓形來說其實是同一件事，但是計算上就差了一倍，因此習慣上常用直徑來代表。

管內流場

對於在管內的流動，雷諾數定義為：

$\mathrm {Re} ={{\rho {\mathbf {\mathrm {V} } }D} \over {\mu }}={{{\mathbf {\mathrm {V} } }D} \over {\nu }}={{{\mathbf {\mathrm {Q} } }D} \over {\nu }A}$

式中：

• ${\mathbf {\mathrm {V} } }$特徵速度選擇平均流速（國際單位：m/s）
• ${D}$特徵長度選擇管徑或管長(m)
• ${Q}$體積流量（m³/s）
• ${A}$橫截面積（m²）

假如雷諾數的體積流速固定，則雷諾數與密度（ρ）、速度的開方（${\sqrt {u}}$）成正比；與管徑（Ｄ）和黏度（ｕ）成反比

假如雷諾數的質量流速（即是可以穩定流動）固定，則雷諾數與管徑（Ｄ）、黏度（ｕ）成反比；與√速度（${\sqrt {u}}$）成正比；與密度（ρ）無關

平板流

對於在兩個寬板(板寬遠大於兩板之間距離)之間的流動,特徵長度為兩倍的兩板之間距離

流體中的物體

對於流體中的物體的雷諾數,經常用Re_p表示。用雷諾數可以研究物體周圍的流動情況，是否有漩渦分離，還可以研究沉降速度。

流體中的球

對於在流體中的球，特徵長度就是這個球的直徑，特徵速度是這個球相對於遠處流體的速度，密度和黏度都是流體的性質。在這種情況下，層流只存在於Re=10或者以下。 在小雷諾數情況下，力和運動速度的關係遵從斯托克斯定律。

球在流體中的雷諾數可以用下式計算，其中$v_{f}$為流體速度，$v_{s}$為球速度，$d_{s}$為球直徑，$\rho _{f}$為流體密度，$\mu _{f}$為流體粘度。

$Re={\frac {|v_{f}-v_{s}|d_{s}\rho _{f}}{\mu _{f}}}$

攪拌槽

對於一個圓柱形的攪拌槽，中間有一個旋轉的槳或者渦輪，特徵長度是這個旋轉物體的直徑D。速度V等於ND,其中N是轉速(周/秒)。雷諾數表達為:

$\mathrm {Re} ={{\rho VD} \over {\mu }}={{\rho ND^{2}} \over {\mu }}.$

當Re>10,000時，這個系統為完全亂流狀態。

過渡流雷諾數

在外流場中由於有邊界層的影響，實驗中發現當流體流過一定長度後，會由層流過渡到完全為亂流。對於不同的尺度和不同的流體，只要雷諾數達到某個特定值，這種不穩定性都會發生。外流場通常以雷諾數$\mathrm {Re} _{x}\approx 5\times 10^{5}$代表層流結束, 這裏特徵長度 x 是從物體前緣起算的距離，特徵速度是邊界層以外的自由流場速度。

內流場雷諾數$\mathrm {Re} <2100$為層流狀態，$\mathrm {Re} >4000$為亂流狀態，介於2100～4000為過渡流狀態。

• 層流(又可稱作黏滯流動、線流)：流體沿着管軸以平行方向流動，因為流體很平穩，所以可看作層層相疊，各層間不互相干擾。流體在管內速度分佈為拋物體的形狀，面向切面的則是拋物線分佈。因為是個別有其方向和速率流動，所以流動摩擦損失較小。

• 亂流(又可稱作紊流、擾流)：此則是管內流體流動狀態為各分子互相激烈碰撞，非直線流動而是漩渦狀，流動摩擦損失較大。

管道中的摩擦阻力

穆迪圖說明達西摩擦因子f和雷諾數和相對粗糙度的關係

在管道中完全成形（fully developed）流體的壓降可以用穆迪圖來說明，穆迪圖繪製出在不同相對粗糙度下，達西摩擦因子f和雷諾數${\mathrm {Re} }$及相對粗糙度$\epsilon /D$的關係，圖中隨着雷諾數的增加，管流由層流變為過渡流及亂流，管流的特性和流體為層流、過渡流或亂流有明顯關係。

流動相似性

兩個流動如果相似的話，他們必須有相同的幾何形狀和相同的雷諾數和歐拉數。當在模型和真實的流動之間比較兩個流體中相應的一點，如下關係式成立：

$\mathrm {Re} _{m}=\mathrm {Re} \;$

$\mathrm {Eu} _{m}=\mathrm {Eu} \;\quad \quad {\mbox{i.e.}}\quad {p_{m} \over \varrho _{m}{v_{m}}^{2}}={p \over \varrho v^{2}}\;,$

帶m下標的表示模型里的量，其他的表示實際流動里的量。 這樣工程師們就可以用縮小尺寸的水槽或者風洞來進行試驗，與數值模擬的模型比對數據分析，節約試驗成本和時間。實際應用中也許會需要其他的無因次量與模型一致，比如說馬赫數，福祿數。

以下是一些雷諾數的例子：

• 纖毛蟲~ 1×10⁻¹
• 最小的魚 ～1
• 大腦中的血液流 ～1×10²
• 主動脈中的血流~ 1×10³

亂流臨界值~ 2.3×10³-5.0×10⁴(對於管內流)到10⁶(邊界層)

• 棒球（美國職業棒球大聯盟投手投球）~2×10⁵
• 游泳（人）~4×10⁶
• 最快的魚 ~1×10⁸
• 藍鯨~ 3×10⁸
• 大型郵輪（伊利沙伯女王2號）~ 5×10⁹

雷諾數的推導

雷諾數可以從無因次的非可壓納維－斯托克斯方程式推導得來:

$\rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} .$

上式中每一項的單位都是加速度乘以密度。無因次化上式，需要把方程式變成一個獨立於物理單位的方程式。我們可以把上式乘以係數:

${\frac {D}{\rho V^{2}}}$

這裏的字母跟在雷諾數定義中使用的是一樣的。我們設:

$\mathbf {v'} ={\frac {\mathbf {v} }{V}},$

$\ p'=p{\frac {1}{\rho V^{2}}},$

$\ \mathbf {f'} =\mathbf {f} {\frac {D}{\rho V^{2}}},$

$\ {\frac {\partial }{\partial t'}}={\frac {D}{V}}{\frac {\partial }{\partial t}},$

$\ \nabla '=D\nabla$

無因次的納維-斯托克斯方程式可以寫為:

${\frac {\partial \mathbf {v'} }{\partial t'}}+\mathbf {v'} \cdot \nabla '\mathbf {v'} =-\nabla 'p'+{\frac {\mu }{\rho DV}}\nabla '^{2}\mathbf {v'} +\mathbf {f'}$

這裏:${\frac {\mu }{\rho DV}}={\frac {1}{\mathit {Re}}}.$

最後,為了閱讀方便把撇去掉:

${\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} =-\nabla p+{\frac {1}{\mathit {Re}}}\nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} .$

這就是為什麼在數學上所有的具有相同雷諾數的流場是相似的。

參見

• 磁雷諾數