大斜方截半二十面體

幾何學中,大斜方截半二十面體(英語:Great rhombicosidodecahedron)又稱為截角截半二十面體(英語:Truncated icosidodecahedron)是一種半正多面體,由於其具有點可遞的性質,因此屬於阿基米德立體[1],是十三種由2種以上的正多邊形組成的非柱體幾何圖形之一。

大斜方截半二十面體
大斜方截半二十面體
(按這裏觀看旋轉模型)
類別半正多面體
對偶多面體四角化菱形三十面體在維基數據編輯
識別
名稱大斜方截半二十面體
參考索引U28, C31, W16
鮑爾斯縮寫
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
grid在維基數據編輯
數學表示法
考克斯特符號
英語Coxeter-Dynkin diagram
施萊夫利符號
tr{5,3}在維基數據編輯
威佐夫符號
英語Wythoff symbol
2 3 5 |
康威表示法bD
taD在維基數據編輯
性質
62
180
頂點120
歐拉特徵數F=62, E=180, V=120 (χ=2)
組成與佈局
面的種類正方形
正六邊形
正十邊形
面的佈局
英語Face configuration
30個{4}
20個{6}
12個{10}
頂點圖4.6.10
對稱性
對稱群Ih
特性
環帶多面體
圖像
立體圖
4.6.10
頂點圖

四角化菱形三十面體
對偶多面體

展開圖

大斜方截半二十面體共有62個面、180條稜和120個頂點,是凸均勻多面體頂點數最多也是稜數最多的多面體。由於其每個面都具有點對稱性(與180°的旋轉對稱等效),因此是一種環帶多面體

命名

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截半二十面體及其截角的結果

名稱截角截半二十面體(英語:Truncated icosidodecahedron)最初由約翰內斯·開普勒給出,但這個名稱有歧義,因為直接將截半二十面體透過截角變換的結果,其所形成的四邊形面是一個長方形而不是正方形,然而這個立體圖形在拓樸上與大斜方截半二十面體等價。

大斜方截半二十面體還有幾個不同的名稱:

性質

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由30個正方形,20個正六邊形和12個正十邊形組成,有120個頂點和180條棱。除稜柱和反稜柱以外,如果所有的阿基米德立體具有相同的棱長,大斜方截半二十面體將具有最大的表面積和體積。

尺寸

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若一大斜方截半二十面體的邊長為a,則有下列性質:

  • 體積表面積
     [7][8]
     [7][8]
  • 外接球半徑
     [8],由此可知,外接球體積為 ,其值約為 [8]
  • 內切球半徑
     ,由此可知,內切球體積為 ,其值約為 [8]
  • 面心距
    • 正方形面心距為: [8]
    • 正六邊形面心距為: [8]
    • 正十邊形面心距為: [8]
  •  為大斜方截半二十面體的邊心距、十二面體外接球半徑為 、正二十面體外接球半徑為 ,和菱形三十面體長對角線的接球半徑為 。 存在下列等式:
    •  [9]
    •  [9]
    •  [9]
    •  [9]
    •  [9]

作法

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將一個正十二面體正二十面體)三十條棱都切一刀,在二十(十二)個頂點處也切一刀,但是要切的薄一點,就可以得到一個大斜方截半二十面體。

頂點坐標

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在三維笛卡兒坐標系中,以原點為幾何中心,邊長2τ-2的大斜方截半二十面體的坐標是以下坐標的全偶排列[10]

1/φ, ±1/φ, ±(3 + φ)),
2/φ, ±φ, ±(1 + 2φ)),
1/φ, ±φ2, ±(−1 + 3φ)),
(±(2φ − 1), ±2, ±(2 + φ)) and
φ, ±3, ±2φ),

其中 黃金分割率

相關多面體與鑲嵌

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領結二十面體和領結十二面體的結構可以看做是大斜方截半二十面體的正方形面被分割成兩個梯形[11]

大斜方截半二十面體又稱為截角截半二十面體,是正二十面體截半後再經過特殊的截角變換後的結果,其他也是由正二十面體透過康威變換得到的多面體有:

正二十面體家族半正多面體
對稱群: [5,3]英語Icosahedral symmetry, (*532) [5,3]+, (532)
                                               
               
{5,3} t0,1{5,3} t1{5,3} t0,1{3,5} {3,5} t0,2{5,3} t0,1,2{5,3} s{5,3}
半正多面體對偶
                                               
               
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5


大斜方截半二十面體圖

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大斜方截半二十面體圖
 
5階對稱性
頂點120
180
半徑15
直徑15
圍長4
自同構群120 (A5×2)
色數2
屬性立方體英語Cubic graph哈密頓正則零對稱性英語Zero-symmetric graph

在圖論的數學領域中,與大斜方截半二十面體相關的圖為大斜方截半二十面體圖又稱為截角截半二十面體圖,是大斜方截半二十面體之邊與頂點的圖英語1-skeleton,是一種阿基米德圖英語Archimedean graph[12]

性質

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大斜方截半二十面體圖與大斜方截半二十面體有相同的拓樸結構,其頂點與邊的數量及結構都與阿基米德立體中的大斜方截半二十面體相同,共有120個頂點和180條邊,是阿基米德圖中,頂點和邊數最多的圖,且是一個位於零對稱性英語Zero-symmetric graph立方體英語Cubic graph的阿基米德圖[12]

施萊格爾圖
 
3階對稱性
 
2階對稱性

參見

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參考文獻

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  1. Cromwell, P.; Polyhedra頁面存檔備份,存於互聯網檔案館), CUP hbk (1997), pbk. (1999).
  2. 埃里克·韋斯坦因. GreatRhombicosidodecahedron. MathWorld. 埃里克·韋斯坦因. Archimedean solid. MathWorld. 
  3. Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra x3x5x - grid. bendwavy.org. 
  1. ^ 1.0 1.1 Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2. 
  2. ^ Wenninger, Magnus英語Magnus J. Wenninger, Polyhedron Models, Cambridge University Press, 1974, ISBN 978-0-521-09859-5, MR 0467493 
  3. ^ Wenninger, (Model 16[2], p. 30)
  4. ^ Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. 
  5. ^ Williamson[4] (Section 3-9, p. 94)
  6. ^ Cromwell[1] (p. 82)
  7. ^ 7.0 7.1 Weisstein, Eric W. (編). Great rhombicosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 Harish Chandra Rajpoot. Mathematical analysis of great rhombicosidodecahedron (the largest Ar…. 2015-03-19 [2017-07-03]. (原始內容存檔於2018-08-26). 
  9. ^ 9.0 9.1 9.2 9.3 9.4 Robert Whittaker. The Great Rhombicosidodecahedron | polyhedra.mathmos.net. polyhedra.mathmos.net. [2017-07-11]. (原始內容存檔於2016-07-04) (英語). 
  10. ^ Weisstein, Eric W. (編). Icosahedral group. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  11. ^ Symmetrohedra: Polyhedra from Symmetric Placement of Regular Polygons頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) Craig S. Kaplan
  12. ^ 12.0 12.1 Read, R. C.; Wilson, R. J., An Atlas of Graphs, Oxford University Press: 269, 1998 

外部連結

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