史特姆-萊歐維爾理論

在數學及其應用中，以雅克·夏爾·法蘭斯瓦·史特姆（1803–1855）和約瑟夫·萊歐維爾（1809–1882）的名字命名的史特姆-萊歐維爾方程是指二階線性實微分方程：

$${\frac {d}{dx}}\!\!\left[\,p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y=-\lambda \,w(x)y,$$

(1)

其中給定係數函數p(x), q(x), 和w(x)均為已知函數，和y是以x為自由變量的未知的待求解函數，稱為解；$\lambda$是一個未定常數。w(x)又記為r(x)，稱為'權（weight）'函數或'密度(density)'函數。所有二階線性常微分方程都可以簡化為這種形式。

在一個正則的史特姆-萊歐維爾（S-L）本徵值問題中，在有界閉區間[a,b]上，三個係數函數$p(x),w(x),q(x)$應滿足以下性質：

• $p(x)>0,w(x)>0$；
• $p(x),p'(x),w(x),q(x)$ 均連續；
• $y(x)$ 滿足邊界條件 $\alpha _{1}y(a)+\alpha _{2}y'(a)=0$ 及 $\beta _{1}y(b)+\beta _{2}y'(b)=0$（$\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}>0,\beta _{1}^{2}+\beta _{2}^{2}>0$）。

只有一些恰當的$\lambda$能夠使得方程擁有滿足上述條件的非平凡解（非零解）。這些$\lambda$稱為方程的特徵值，對應的非平凡解稱為特徵函數，而特徵函數的集合則稱為特徵函數族。施、劉二人在一些由邊界條件確定的函數空間中，引入埃爾米特算子，形成了史特姆-萊歐維爾理論。這個理論提出了特徵值的存在性和漸近性，以及特徵函數族的正交完備性。這個理論在應用數學中十分重要，尤其是在使用分離變量法求解偏微分方程的時候。

史特姆-萊歐維爾理論提出：

• 史特姆-萊歐維爾特徵值問題，存在無限多個實數特徵值，而且可以排序為：

$\lambda _{1}<\lambda _{2}<\lambda _{3}<\cdots <\lambda _{n}<\cdots ,\lim _{n\rightarrow \infty }\lambda _{n}=\infty$；

• 對於每一個特徵值$\lambda _{n}$都有唯一的（已被歸一化的）特徵函數$y_{n}(x)$，且$y_{n}(x)$在開區間(a,b)上有且僅有n-1個零點。其中$y_{n}(x)$稱為滿足上述史特姆-萊歐維爾特徵值問題的第n個基本解；
• 已歸一化的特徵函數族在希爾伯特空間$L^{2}([a,b],w(x)\mathrm {d} x)$上有正交性和完備性，形成一組正交基：

$\int _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)w(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{mn}$

其中$\delta _{mn}$是克羅內克函數。

一些函數的史特姆-萊歐維爾形式

只要乘以一個恰當的積分因子，所有二階常微分方程都可以寫成史特姆-萊歐維爾形式。

貝塞爾方程

$x^{2}y''+xy'+(x^{2}-\nu ^{2})y=0\,$

等價於：

$(xy')'+(x-\nu ^{2}/x)y=0.\,$

勒讓德方程

$(1-x^{2})y''-2xy'+\nu (\nu +1)y=0\;\!$

注意到 D(1 − x²) = −2x，因此等價於：

$[(1-x^{2})y']'+\nu (\nu +1)y=0\;\!$

二體系統史特姆-萊歐維爾方程

二體問題常用的換元的技巧是通過 $u=1/r\!$ 和 ${\dot {\theta }}=Lu^{2}/m\!$ 將原方程中對時間的求導轉化為對角度 $\theta \!$ 的求導，並得到Sturm-Liouville型方程

$(Lu')'+Lu=1/L\!$

使用積分因子的例子

$x^{3}y''-xy'+2y=0.\,$

兩邊同時除以x³:

$y''-{x \over x^{3}}y'+{2 \over x^{3}}y=0$

再乘以積分因子：

$\mu (x)=e^{\int -{x/x^{3}}\,\mathrm {d} x}=e^{\int -{1/x^{2}}\,\mathrm {d} x}=e^{1/x},$

得到：

$e^{1/x}y''-{e^{1/x} \over x^{2}}y'+{2e^{1/x} \over x^{3}}y=0$

又注意到：

$De^{1/x}=-{e^{1/x} \over x^{2}}$

因此原方程等價於：

$(e^{1/x}y')'+{2e^{1/x} \over x^{3}}y=0.$

一般形式二階常微分方程的積分因子

$P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0\,$

兩邊同時乘以積分因子：

$\mu (x)={1 \over P(x)}e^{\int {Q(x)/P(x)}\,\mathrm {d} x},$

整理後得到：

${d \over dx}(\mu (x)P(x)y')+\mu (x)R(x)y=0$

或者把積分因子寫出來：

${d \over dx}(e^{\int {Q(x)/P(x)}\,\mathrm {d} x}y')+{R(x) \over P(x)}e^{\int {Q(x)/P(x)}\,\mathrm {d} x}y=0$

參閱

• 簡正模